CHAPITRE I. — INVARIANTS DES SYSTEMES BINAIRES. l

l'espace E est considéré comme rempli par les deux séries d'éléments (#), ... et [x') . . ., et si ces deux séries sont homographiques, ce fait est exprimé par l'existence d'une substitution linéaire telle que o\

III. Les nouveaux éléments géométriques non seulement remplissent le même espace E que les anciens, mais encore chaque élément (x) coïncide avec l'élément [x') que lui fait correspondre la substitution <x. Celle-ci définit alors un changement de coordonnées; les éléments fondamentaux 0'n (X du nouveau système ont respectivement pour coordonnées de première espèce dans l'ancien système (1H) ^21 )> Oh 25 ^22) î ils peuvent coïncider avec ceux de l'ancien système, même sans que la substitution ose réduise à la substitution identique. La condition (xx')=o exprime ici que l'élément (x) ou (x') a mêmes coordonnées dans les deux systèmes.

Réciproquement, tout changement de coordonnées est défini par une substitution telle que g-, puisqu'il doit en résulter entre les (x) et les (x') une correspondance doublement univoque sans exception.

14. D'une façon générale, quelle que soit la façon dont on envisage la substitution o-, une forme y égalée à zéro établissant une relation entre les coordonnées des éléments qui y figurent, la forme /', transformée de f par la substitution cr, établit, quand on l'égale à zéro, la relation correspondante entre les nouvelles coordonnées des éléments qui correspondent aux premiers. Si, en particulier, y ne dépend que d'une seule série de variables,/ = o définit des éléments fixes ', f = o définit par leurs nouvelles coordonnées les éléments qui correspondent à ceux-là.

15. Tandis qu'au point de vue analytique, la substitution n dépend des quatre paramètres (a), il est évident que, au point de vue géométrique, elle ne dépend que de trois paramètres qui sont les rapports des (a) entre eux; en effet, un élément, ne dépend que du rapport de ses deux coordonnées, et, pour définir une homographie ou un changement de coordonnées, il suffit d'écrire

Xi] x\ -+- X 12-^2 __ ^21^1 -+- X.22^'2

Xi X-2

l4 LIVRE I. — LA GÉOMÉTRIE BINAIRE.

Il en résulte par exemple qu'une homographie est déterminée par trois couples d'éléments correspondants; qu'un changement de coordonnées est déterminé par la connaissance des nouvelles coordonnées de trois éléments.

16. Les substitutions 7 formant un groupe, il en résulte que l'on peut dire :

i° Plusieurs changements de coordonnées successifs équivalent à un seul ;

3° Deux séries d'éléments collinéaircs à une même troisième sont collinéaires entre elles;

3° Un changement quelconque de coordonnées n'altère pas l'homographie de deux séries; et. en particulier, si deux séries remplissant le même espace sont collinéaires, on peut toujours, sans diminuer la généralité, supposer les éléments des deux séries rapportés au même système de coordonnées.