CHAPITRE 1 . — INVARIANTS DES SYSTÈMES BINAIRES. I I

n'est pas nul, et que S est un polynôme irréductible par rapport aux (X).

Si l'on considère les coefficients (à) comme pouvant prendre toutes les valeurs possibles (S n'étant pas nul), nous avons ainsi un ensemble quadruplement infini de transformations, ou encore un ensemble de transformations à quatre paramètres essentiels; en outre, cet ensemble est évidemment continu.

Cet ensemble de transformations forme un groupe, c'est-à-dire que si l'on fait deux transformations consécutives, définies par des formules telles que

xi = Xi1a7'1-+-XiSa7,2, x\— \i.nx\ -+- (*ig#g,

qui, à partir du système S, conduisent successivement aux systèmes S' et S", on peut passer directement du système S au système S" par une transformation appartenant à l'ensemble. En effet, les formules précédentes donnent

&l =(Xll|Xn-t- XjjjfAgi)»! H- (XjÎ fJti2-+- X 12 {ASS)a?g, X% = (X21 (i-n -+- XggfJLgj )x\ -r- (X21 JJ-12 -+- XgSHiS)a7j,

et l'on voit que l'on est ramené, pour passer de S à S", à faire usage d'une substitution linéaire analogue à a-, dont le déterminant est d'ailleurs le produit des déterminants des substitutions intermédiaires.

Ce groupe à quatre paramètres est fi ni et continu, au sens de M. Sophus Lie. Il contient en particulier la substitution identique, qui laisse tous les éléments inchangés; il suffit de faire X, , = X22= i , 1|2= Xo, == o. Enfin, les transformations du groupe sont inverses deux à deux : car, après avoir passé de S à S', on

peut passer de S' à S en remplaçant Xn , X)2, X21, X22, par -<->

À)2 Agi A 1 1

Telles sont les propriétés fondamentales des substitutions linéaires; elles ne leur sont pas particulières, mais ce sont elles qui constituent le fondement de leur théorie.

13. La substitution linéaire cr peut être facilement interprétée au point de vue géométrique. Les nouvelles variables (#'),

(y'), - • • , (£'), (V)> • ■ • peuvent être considérées comme de nouvelles coordonnées; car x\ et x'.2 par exemple ne s'annulent pas en même temps, et aucune de ces quantités ne devient jamais infinie, si ces mêmes conditions sont vérifiées pour X\ et x2, ce

que nous supposons; de plus, les rapports — r et — varient ou restent constants en même temps, et peuvent prendre chacun toutes les valeurs possibles. Enfin, si (x) et(ç) représentent le même élément, {x') et(ç') sont de même des coordonnées d'espèce différente correspondantes, puisque (£|#) se change en (£'|#').

Les nouvelles variables peuvent donc être regardées comme les coordonnées d'une nouvelle série d'éléments géométriques. Alors on peut imaginer les trois cas suivants.

I. Les nouveaux éléments géométriques sont différents des anciens et remplissent un espace E' di lièrent de l'espace E, de sorte que la condition (xx')=o perd tout sens géométrique de coïncidence.

La substitution 7 établit alors, entre 1rs éléments des deux espaces E et E', une correspondance doublement univoque, sans exception : à chaque élément de E correspond un élément et an seul de E', et inversement.

Réciproquement, toute substitution établissant entre les éléments de E et de E' une telle correspondance, doublement univoque sans exception, sera une substitution linéaire à déterminant non nul, telle que 7.

Une telle correspondance est dite homo graphique et est appelée aussi collinéation; les deux espaces E et E' sont homographiques ou collincaires.

II. Les nouveaux éléments géométriques sont les mêmes que les anciens et remplissent le même espace E, qui est ainsi rempli deux fois : une fois par les éléments (x), ... et une fois par les éléments (x'), ... ; la condition (xx')= o conserve ou perd son caractère géométrique de coïncidence suivant que l'on considère ou non comme identiques les systèmes de coordonnées auxquels sont l'apportées les deux séries des (x), ... et des (x'), ....

Les éléments de ces deux séries se correspondent homographiquement comme dans le premier cas; réciproquement, si