CHAPITRE V. — GÉNÉRATIONS DIVERSES DES SÉRIES TERNAIRES- I9r

sorte que

e àfx j df.2 , d/3

dX2 s" dX2 s dX2 on a donc, pour définir la série tangentielle cp0 de /, les formules

v 4A ^ àfs dfs

pçi" dx, dx, n2 dx,'

j. df1dj1 djjdfi P;-~ dX, dX2 dX2 <ft,'

t df1àf1 dfiV* pÇ3 t)X, dX2 " dX2 dli'

Si un couple de valeurs (A) annule les trois seconds membres de ces formules, tout élément (£) contenant (X) admet cet élément commun deux fois avec/; (X) est donc double sur/, et l'élément langent est défini par les équations compatibles

à\fc àk , d\

{\) est donc, en restant dans le cas le plus général, un élément cuspidal de /.

Supposons que les valeurs des pçt- admettent ainsi /■ facteurs communs; en supprimant ces facteurs, on voit que le degré de o0, c'est-à-dire la classe de/, est i[p — i) — /•.

Les éléments inflexionnels de / sont définis par la condition que (£) ait(X) trois fois commun avec/ c'est-à-dire par l'équation

0\fx à\f\ d\U

dk\

dk^âk-, ÔhxÔki OAxOk-2 d*ft d\f, d*f3

<>ki

ôli

ils sont donc, en général, en nombre 3(p — 2); mais si / admet, comme précédemment, un élément stationnaire (a), il est facile de voir que (X) est racine double de l'équation précédente ; celle-ci

peut s'écrire en effet, au facteur a:! (ois près,

/i fi fi

of\ fa 0f\

o\fx ^A *2fs

d\\ à\\ dl\

et il suffit alors de prendre la dérivée «lu premier membre par rapport à "a, pour vérifier la proposition annoncée.

Si donc / ' admel /■ éléments stationnaires, le nombre ode ses éléments inflexionnels esl '-'u /> — •>. — •>./•.

La série f admel aussi des éléments doubles à éléments tangents ili-iinci> ; pour les déterminer, il faut chercher les couples (X), (X') qui donnent aux (#) des valeurs proportionnelles. On a donc à résoudre les équations

/i(X„ / À,, X,) /3(Ai, X2)

les fi restanl arbitraires, il faul d'ailleurs supposer (XX') ^o. Éliminons les i /.') entre les équations entières

./•■'X'/VÀ'WJX'X/VX)