CHAPITRE V. — GÉNÉRATIONS DIVERSES DES SÉRIES TERNAIRES. I (j
Ce degré est évidemment le nombre des solutions des équations
car le résultant est à un facteur numérique près le produit des valeurs de j\ pour les solutions des équations précédentes.
On exprimera que parmi les systèmes de solutions communes iif., = o, f3 — o, . . . , fn = o, il y en q qui appartiennent à /', = o, comme nous l'avons fait dans les cas particuliers déjà traités ; et l'on pourra calculer ces solutions communes d'une façon toute pareille.
Ajoutons qu'un système de solutions de f.x = o, f3 = o, ..., ftl= o, sera multiple, et en général double, si tous les déterminants d'ordre n — i , tirés de la matrice
àft
àft
àft
ôf.
àf
àft
àft
dxi
dx-i
dxn,
àji
àyn.
dzL
Ojj, àx\
ÔX-i
àfz
àxny
df
àyni
àft
dZy
àfz
à*nt
àfn
àfn
àfn
àfn
àfn
àfn
àfn
dxi
àx%
àx,h
ày\
dyn.
ÔZy
àzni
sont nuls pour ce système de solutions.
Enfin remarquons que le résultant R est un invariant multiple qui, relativement au groupe des (x) par exemple, est d'ordre
ZpiP* ■ ■ •Pnxqnt+iqnl-\-l
q nl+n> — \ '"/!,+«. f'nt+-n.-t-\ ■ ■ • '*«,+«.,— «3— 2
chaque terme renfermant n facteurs d'indices différents, dont n] sont des pi.
Les séries rationnelles.
184. Au lieu de définir une série par une équation f=o, il arrive souvent qu'on la détermine d'une façon différente, plus ou moins simple. Nous allons passer en revue quelques-unes des pluimportantes de ces représentations nouvelles.
On peut supposer que les coordonnées d'un élément variable (x l sont exprimées en fonction de deux paramètres )M, ).2, homogènes, comme formes de même degré p par rapport à ces paramètres. An. - I. i3
|fj4 LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.
On a ainsi
o étant un paramètre d'homogénéité, et les// étant des formes de degré p par rapport aux Çk).
Il est clair alors que, si les (À) varient, l'élément (.r) décrit unisérie /', ternaire, qui est dite rationnelle.
Le degré de la série /est/?; car L'élément quelconque (;) a, avec/", /? éléments communs définis par L'équation
Nous supposons ici que les/", n onl pus de facteur commun, de sorte qu'à tout système de valeur des (X) correspond un élément ' ' ' déterminé; nous supposons en outre qu'il n'existe pas d'une façon constante plusieurs systèmes de valeurs des X i définissant le même élément (j : sous ces conditions, la série f est indécomposable. Son équation s'obtient en éliminant les (X)entre
les équations
"i rj
à cet effet, on éliminera les / entre Les équations
par exemple, et l'on supprimera dans le résultant obtenu le facteur r\ idenl ./'','.
On peut < ncore obtenir I équation de / sons forme de déterminant en éliminant linéairement les quantités telles que /.','' a-''-/'1-' el -//.', / ' cuire les équations de la forme
en aombre '</>. comme les quantités à éliminer.
