CHAPITRE 1. — INVARIANTS DES SYSTEMES BINAIRES

tèrae S, considérés comme fonctions des éléments de ce système, doivent vérifier un système de/? équations linéaires et homogènes, aux dérivées partielles, formant un système complet, puisque ce sont des fonctions arbitraires de P — p quelconques d'entre eux, distincts.

Pour former ces équations aux dérivées partielles, remarquons que toute substitution linéaire i peut être obtenue en combinant ensemble un certain nombre de substitutions des formes particulières suivantes

^ xi — hx\ , ( x{ = x\ -+- Ax'2, \ xY = x\ , L xi = x\ ,

\ x2= *'2, ( x2=x'1, f x-, = lx\ -f- x',, l x.2= mx',.

Si, en effet, on a )*o2^ o, en faisant

l „ ^12 1, 1 h rj m 1 m iv l x\ — x \i

1 x\ — x \ ~+~ =\ x ïi l^l — •} ^ \i 1 "^ 1 ■ — x \i \ .

iv "21 , ,

on a

( xl = Xna?',+ A12a?2,

Si ),22=o, sans que a,, soit nul, on aura des formules analogues en intervertissant les indices i et 2. Si )M) = ).2o:=o, on est ramené au cas précédent en faisant, par exemple.

I JL | — 12 ■> ) 1 **' 1 — ™ "^ 1 ■*> **^ ■> 1

x-2— À2ia?ï -f- ^2,

d'où, en effet,

X\ — Aj2 X.j,,

Xi = 'kiise\.

Une condition nécessaire et suffisante pour que F (<?) soit un invariant absolu, pour toutes les substitutions <r, est donc que cette fonction ne change pas de valeur quand on fait l'une quelconque des substitutions particulières que nous venons de si- An. — I. 2

l8 LIVRE I. — LA GÉOMÉTRIE BINAIRE.

gnaler, et que nous écrirons sous la forme

\xl = x\e<^n, l n = r',-T-oj,,.r:,,

(*n) , (*is)

JL o — JL .) < ( */ ^ — 1/ .-> *

ICC 1 ^^ 3? 1 . 1^*1 =- •' i 1

5 désignant la base des logarithmes népériens.

Les substitutions <r,y, e et/ étant fixes, forment un groupe particulier à un seul paramètre, contenu dans le groupe général (\v> substitutions <r; si w,y est infiniment petit, la substitution ovy esl infinitésimale, en ce sens qu'elle modifie les (e) de quantités infiniment petites; le groupe des substitutions 7 ne contient évidemment que quatre substitutions infinitésimales indépendantes, qui sont précisément les substitutions infinitésimales oyy.

Si l'on effectue deux substitutions successives ovy (i et /' étant fixes), correspondant aux valeurs to,y el u|y du paramètre, la substitution résultante ovy correspond manifestement à la valeur Wjy-f- o//y- du paramètre. Soit alors F(e) une fonction des éléments du système S qui, par la première substitution, devient F(<?'), S devenant S'; la seconde substitution appliquée à S' conduit à S", et F(e') devient F(e"); la substitution résultante conduit directement de S à S" et change F(e) en F(e//). F(e') se développe suivant les puissances de ti>(-y sous la forme

F(e') = F(e)+ii}'F(e)^+A[}'F(0^ + A[}'FU)A+...,

les A).-)F(c) désignant certaines opérations différentielles. On a, par suite, en vertu des observations qui précèdent,

-f3iM))F(e)4o,;/-fi^F(ê)4] + ...;