CHAPITRE I. — INVARIANTS DES SYSTEMES BINAIRES

on a aussi directement

+ A3»F(0("/yH"M,|y),+A^F(e)(Mfy+^)'-^.-; J 1.2 j \ / 1.2.3

on en déduit, par comparaison, que les opérations Ajy'F(e) vérifient les conditions

AB)F(e) = A«-},A^F(e),

A.lors nous écrirons simplement

F(b') - F(«)+ A/yF(«) ^ + A?y F(e) -^ + A?, F(0 -^ + . . .,

où l'exposant de la caractéristique A indique la réitération de l'opération correspondante.

Comme conséquence particulière de ces importantes formules, nous voyons qu'une condition nécessaire et suffisante, pour que F(e) soit un invariant absolu à l'égard de toutes les substitutions <7, est que cette fonction vérifie les quatre équations

AnF(e) = o, A,jF(e) = o, A21F(e)=o, A22F(e) = o. 21. Calculons les A/yF(e). La substitution <rM donne d'abord

Pi,Pî;<7i,7ï;.--;TC|,TCi;pi,ps:

= e</».+7.+--«.-p.— •»««>„ a/)iipi.7ii(7i; ...;rtl>TC,:pllPï ...,

On a, par suite, immédiatement

dF „ dF

AuF(e) = -^ — -■•.-*-?. ^

-+-(/>! -l-? !+••• — TTi — Pi— •••)a/>„pi;...;TCt.irs;..

On a de même

^a/»t,Pi;-;«i,w»;...

^F f dF

âx2 ■"+<;2^2

dF

+ (^2 -+-^2+...— it2 — p2— ...)«/»,.p,;...;nl,iri;. .. -j- K...

La substitution o-,2 donne maintenant

x\ = xl — u>12.r0, £',= £,,

x'.2 = x-2l .... Sj'2 = «*>isÇi -+- £*> •••,

= ap„pî;9i)^!;...;iti,'Jrî;p,,p,; ..-+■ tûlî[/>2ap,+l,/>s— l;<7i,<7s;...;ir„7C.;p,,pj;.. "+"■••

~i aA>i,ps;7ii7j;-;ti— i.ti+i;pi,pi^..— • • ■]■+-•• • ;

dans cette dernière formule, nous avons négligé les puissances de iol2, autres que la première.

On en déduit

dF

| /': ap,+l,pt— 1;.. .;iC|,ffi;...

Pitpa- ■ -~ t,"^ '.,■■ ■

— ~\ api,pt;...;'K,—l, ««+!;... — • ••]"'"'

On a de même

e)F , dF

dx2 ■ ■ ' ~*~ Ç2 dfc

I /'i a/>i— i.Pt+i;- r "

Otlp, ./..; ...;7t,-.

— ~2al>,. pi..-- ;-, + !. -.—I;... — ...]-+-..

22. D'après ce qui a été dît antérieurement, les quatre équations linéaires et homogènes aux dérivées partielles

se réduisent à /) distinctes, qui forment un système complet, el qui admettent P — p solutions rationnelles distinctes. En fait, on vérilic facilement les identités suivantes

am A22 F — A22 AM F = o, A,2A21F A2IA12K = AnF— A22F, AnA12F-A12AuF A,, F.

AtlA.,,F- A„AI1F = A21F, A22 A12 F - A12 A22 F = — A)2 F, A22A21F — A21A2.,F = A21F,

qui expriment que les p équations distinctes parmi les équations A/y F = o forment un système complet.

On peut remarquer que p est toujours égal à 4 dès que le système contient deux séries de variables de même espèce.