V. — Applications
202. Soient (y) et (z) deux éléments correspondants de la hessienne II et de la steinérienne S d'une série /"= axp= o. On a les équations
Z\ r- Z% ; n Zs =0 (i = I,2,0);
àyidyt dy^ôyt àyzoyi
la première polaire axp-lz=^ o de (z) a un élément double en (y)', la (p — 2)ieme polaire a r*-yr-*-= o de (y) a un élément double
La steinérienne, obtenue par élimination des [y) entre les équations précédentes est de degré 3(/> — a)2.
D'après le n° 189, l'élément langent [Q à S en (5) a pour
équation, après une réduction facile,
df df df
ày\ Oy, ày3
| Z) est donc la (p — i)>ème polaire, ou polaire linéaire de (y).
La classe de S est évidemment d'après cela Z(p — \)(p ■>.).
S peut être regardée comme l'enveloppe au sens du n 201 des polaires linéaires aXyP~l= °î donc S aura i 2 (p — >-)(/' — 3) élé-
ments cuspidaux et (p — '. t /> — 3)(3/>- — <)/> — 5) éléments
doubles ordinaires; \r> éléments cuspidaux sont tels (pie leurs
premières polaires aient un élément cuspidal ; les éléments doubles
sont tels que leurs premières polaires aienl deux éléments doubles.
S a par suite 3(/> — ■>.")( /\p — g) éléments inflexionnels et
- {p — 2)(/? — 3)(3/;- âp — 8) élément tangents doubles ordi-
11,111 es.
Il est évident que S touche les éléments tangents stationnaires de f, puisque, -1 1 esl commun kf el II. c'est un élément inflexionnel, el l'élément tangent correspondant esl sa polaire linéaire.
La hessienne H est de même l'enveloppe des secondes polaires </, î).; = o; elle u'a pas en général d'élément multiple; par suite ses singularités sont faciles à déterminer.
Le genre de H et S est le même.
Si (/) et (u) sont tels que leurs premières polaires se touchent 1 n (y), on voit tout de suite (pie l'y) appartient à II: l'élément langent commun est l'élément (yz) de la cayleyenne, et (tu) louche S en (z), c'est-à-dire est la polaire linéaire de (y).
203. La cayleyenne est la série de seconde espèce lieu des éléments (yz)\ pour trouver son degré, on cherchera le nombre des -ululions communes aux équations
àyxàyt ày^dyt Oy^oyt
(x) étant quelconque ; ce nombre est 3(/? — *)( p — 2)- Si p = 3, il doit être réduit de moitié, comme l'on sait.
La cayleyenne n'a pas d'éléments cuspidaux en général; ses
