IV. — Les invariants

23. Si F(e) est un invariant absolu, rationnel et non entier, il

pourra se mettre sous la forme d'une fraction irréductible =^7 — ,

les fonctions F, et F2 étant entières et n'étant pas, sauf exception,

des invariants absolus.

On a, par hypothèse,

Fi(e') Fi(e).

F,(e') etFo(e') sont encore des fonctions entières des (<?) quand on y remplace les (e') par leurs valeurs en fonction des (e) et des (a); par suite, d'après les hypothèses faites, on a nécessairement

F1(e') = wF1(e), F2(e') = oF,(e),

w étant une fonction qui ne dépend que des (X).

On est ainsi conduit à rechercher, d'une façon plus générale, toutes les fonctions F(e) telles que l'on ait

F(e')= ioF(«),

w ne dépendant que des (X). Ces fonctions sont les invariants du système S; elles comprennent en particulier les invariants absolus, qui correspondent à w = i .

Comme précédemment, une condition nécessaire et suffisante pour que F(e) soit un invariant du système S est qu'il en soit

nsi pour les substitutions vy. Par suite, à cause de la formule

ai

F(e')=F(e)4-to,74(VF(e)+-^i?;F(e) + ....

il faut et il suffit que l'on ait

A/yF(e)= iJ-ijF(e):

\JLij ne peut dépendre que de w/y et par suite est une constante, puisque A/yF(e) et F(e) sont indépendants de to,y. En se servant des valeurs données ci-dessus pour les expressions de la

forme A/yA^F — ÂmA/jF, on trouve immédiatement

a étant une constante quelconque.

Les conditions nécessaires et suffisantes pour que F(e) soit un invariant sont donc que F vérifie les quatre équations linéaires aux dérivées partielles

AMF = |iF, A12F=o, 4,^=0, A2,F = ;jlF.

On voit en outre que pour les diverses substitutions o-, , , o-ia, <r2l, 3-22, on a respectivement

F(f>F(ck^", F(e')=F(.

Si donc on décompose la substitution ~, quelconque, en substitutions ff/y-, comme nous l'avons fait plus haut, il vient

F(e')= 8nF(<

de sorte que la fonction u par laquelle se multiplie F(e) quand on passe des (<?) aux I e' l esl une puissance du déterminant o de la substitution t.

Quand l'identité précédente a lieu, on dit que F(?) esl un invariant à' ordre p.; les invariants absolus sont d'ordre zéro.

24. Pour trouver un invariant F d'ordre u différent de zéro, il suffit d'égaler à zéro une solution quelconque des quatre équations linéaires et homogènes aux dérivées partielles

AM<p-4- |xF ^ =o, A12-y=o, A21o = o, \,.,-j -+- ;/ F )V = o;

supposons que ces équations se réduisent à y distinctes, qui forment nécessairement un système complet; on a q'S^'j ^ est

clair aussi que q est égal à p ou à/> — i .

Si </ =/? + i , cela veut dire que les équations entraînent -^ = o :

il n'y a pas d'invariants d'ordre fi. Le système n'a d'autres invariants que ses invariants absolus.