CHAPITRE VII. — LA SKRIE QUADRATIQUE. l

Par suite, il vient

X(yz)*ay>axi = *(yz)*axy + <*(xy)'yZ

daf-{xyz)\

Cette identité fournit une décomposition de ax* en une somme de trois carrés de fonctions linéaires indépendantes, et il est facile de vérifier que c'est la formule lapins générale qui réponde à cette question.

Si (I est nul ainsi que tous ses mineurs, on a simplement

>i d e>t nul, sans que tous ses mineurs le soient, le troisième carré disparaît et la formule fournit immédiatement les facteurs linéaires dans lesquels /se décompose.

Dans le cas général, ( v) et (c) sont arbitraires : aX) — o est la polaire de r, a(.iTUrrl = o est la polaire de l'élément commun à axy= o et à (jrz).

220. On peut ainsi, et de la façon la plus générale, ramener / à la forme canonic[ue simple

on a alors

d .-= au a î2 «33, ? = «22^33 Sf-t- a33an^l --- au a2iU-

La suite triple de référence est telle que 0/ et 0/ soient pôle et polaire par rapport k f : on dit qu'elle est conjuguée par rapport à /. Il existe une triple infinité Qle telles suites triples, car on peut prendre O, arbitrairement et O., arbitrairement sur la polaire deO,.

Si d est nul, / se ramène à la forme

/ = a22^\-~ a33x\, ou bien

et la signification des éléments de référence est évidente.

On vérifiera que si deux suites triples sont conjuguées par rapport à une même série quadratique /', les six éléments d'une même espèce qu'elles définissent appartiennent à une même série quadratique.

221. Dans certains cas, il y a avantage à choisir une autre forme canonique.

Si la suite de référence O,0o03 ou i},li2l>:t est inscrite à y. c'est-à-dire si les 0/ appartiennent à/", on a

/"— 2(/21/,r:i- 2(73,^3^,-1- lanXiXi

et, par suite,

? =— «l35î — a3l£| — aïi£l '"l'"r;:j;: '":i'^i:;:i "'.il ".v> :i ;> •

m même temps, <m dit <pi<' la suite < >, I )2 ( ):i est circonscrite à tp. Si la suite G| 0203 ou û, Q2"3 es| circonscrite à y et, par suite, i nscrile à ^. on ;i de même

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( )n vérifiera sans peine < j 1 1 < ■ si deux suites triples ><>ut inscrites à /'. les six éléments de -cet mile espèce qu'elles déterminent appartiennent* à une même série quadratique) le théorème analogue ,i lieu s'il s'agil de suites triples circonscrites à f.

II. La série quadratique définie par une forme bilinéaire à deux séries de variables binaires.

222. Nou> avons déjà vu comment une forme bilinéaire à deux séries de variables binaires pouvait définir nue série quadratique ternaire. Si

est la forme donnée, il suffit d'imaginer par exemple que les (X) el les (u.) définissent deux éléments de seconde espèce, désignés pour abréger par X) el (•/■), ayant pour équations

À, i/ i.M--/.o<:,'' -o, n,(0| *■)-■- a2(/Jx) = 0,

el de chercher le lieu de l'élément (x) commun à ces deux éléments, lorsque l'on suppose vérifiée la relation g = o. Ceci revient à mettre en correspondance homographique les faisceaux formés par les éléments (X) el (p.).