CHAPITRE VII. — LA SÉRIE QUADRATIQUE

et, par suile, immédiatement,

(txt Ctyt O-zt ïyà) «r,0 «Ç8 I

-- d(xyz)(tuv), x-a *r,v. »;•/- ■ = ^(^OC0//1-

&xu Ctyu f':« &xv ^vc ^zc

«ft *<]! açx

Enfin considérons l'expression axzayt — orzaxt\ ce déterminant est le produit des deux matrices

et

,/.<•, /jfj ./.!•;

/.Vi ./.)'; Jïz

et, par suite, d'après une règle connue, est encore égal à <x.tXy){zt)i de sorte que l'on a l'identité

axzayl — O-xtO-yz— %(xy){zt)

de même, on aurait

«K«il6— *Ç9«/ii:= rf«(Çf,)(Ç8)- En particulier, on aura

ax*ay>— as.y= a.{Xy)h

a|»a0»— a^ = do.

217. L'équation des éléments tangents à y* qui contiennent (y) est évidemment a n)s= o, ou encore aX"-CLy- — a* = °-

La forme équivalente à a.r>)^ considérée comme forme quadratique par rapport aux (x), est, par un calcul facile, dar"-Çcs\y)-1 ainsi qu'il était facile de le prévoir : elle est nulle identiquement si (y) appartient à /'.

( )n peut retrouver les résultats précédents de la façon suivante : soit (x) un élément quelconque, de sorte que tout élément de (xy) est (X, x -+- )wy) ! cet élément appartient à /"si l'on a

X f aX2 -+- •! X ! X2 cixy ■+• ^ | My3 = o ;

cette équation définit les éléments communs àfelh (xy) : ils sont confondus, c'est-à-dire que (xy) est tangent à y, si l'on a

axiay*— <£%y— o.

En éliminant les Çk) entre l'équation précédente et l'équation

on obtienl

c'est l'équation des éléments communs à f et à [xy). On peul l'écrire aussi en appliquant à o ce qui vient d'être dit au sujet de/

en fait, il v a identité entre le premier membre de celte équation et celui de la précédente, au facteur <l près.

appliquons ceci en remplaçant le-- {xy) par les/'.-, nous aurons l'équation des éléments de contact des éléments tangents menés à /' par j -oit. d après les identités connues,

La même équation convient, en \ regardant le^ | s • ru m me variables ei les i : i comme données, pour représenter les éléments tangents à f aux élément - communs à / et à (ç).

^il.S. Le rapport anharmonique p des éléments (je) et {y) asso- < \r^ ;iu\ éléments communs à / et à /r est, d'après une équation précédente, facile à calculer. < >n a

Si (j I et p -"ut donnés, le lieu de x l esl une série quadratique facile à définir plus complètement : dans le cas particulier de o= — i, on retrouve la polaire axy <».

De même, le rapporl anharmonique p des éléments tangents à /

contenant (;/,) avec (ç) et (y,) sera

■j.\r — s da 219. <),, a l'identité

de même, on aura car[(«x)(<ya)]/=<y,-(aya .