III. — La série quadratique comme série rationnelle

224. D'après le n° 223, il est clair que les coordonnées d'un élément (x) d'une série quadratique peuvent s'exprimer sous la

(orme

?'T -fii Xi, Xj .

les fi étant des formes quadratiques par rapport aux i a).

Réciproquement, de telles formules représentent une série quadratique, si toutefois les /, ne sont pas liées par une relation Linéaire, comme il esl évident.

L'élément /. i de coordonnées ( ./' i a (tour élément tangent celui qui esl défini par les formules analogues :

,:;,- -| V] I .1,./.. J :?Il

i , 0/, etf, -</

La série y et la série tangentielle ï sonl ainsi deux espaces à

une di mens homographiques dont les éléments homologues sont

les éléments defe\ les éléments tangents à /'correspondants.

Si il i esl un élément fixe de y, les coordonnées de (xy) sonl faciles à calculer; en appelanl u.) le^ paramètres relatifs àl rum peut éci ire

£0 ■-/.aiAty) h, ..

ces expressions sonl linéaires par rapport aux i /. i. comme on devail le prévoir : donc le rapporl anharmonique de quatre éléments (.r) est égal au rapport anharmonique des quatre couple-, de valeurs l X) correspondantes.

ajoutons que, pour l'élément défini par les éléments tangents en f X ' el u . on peut écrire

225. L'étude de la série/" ainsi représentée correspond, comme nous l'avons déjà dit, à celle de la forme

;,/,<>.,. Xj)+ tj/,, },. X,)-t- b/s(Xi, /

Si l'on fait