X:< O C0 2Cj C2 O

O #3 O C0 2Cj c2

son discriminant est — /\i"' .

La forme canonique de la représentation précédente est obtenue en faisant, ce qui est toujours possible,

pa?! = 2X1X2,

px3= X|; alors on a, pour la série tangentielle,

p?i = — XjXî,

PÇ2=X1-

P?3=Xf;

on peut écrire

/ = (x\ — bx2xz)a,

t étant un facteur quelconque; le discriminant de /est - f t:!, et la forme cp est

La série/ contient 02 et 03 et y admet Q3 et Q2 comme éléments tangents.

L'équation de l'élément de seconde espèce (Xja), c'est-à-dire de l'élément de seconde espèce défini par (X) et (u.) est

— a?j(Xi [x2-+- X2 fit) -+- 2X0 [i.2a72-T- 2À1 i-ij.ri = o.

%4o LIVRE II. — LA GEOMETRIE TERNAIRE.

De même, l'équation de l'élément de première espèce, défini par les éléments tangents en ().) et (p.), est

£l< X, Hs-+- X2(X| I + X, [i, tj- XsJJ.2^3 - o.

226. Ces formules simples peuvent servir à résoudre de nombreuses questions sur les séries quadratiques : ou en peut, par exemple, tirer une démonstration des théorèmes de Pascal cl de Brianchon, ainsi que des nombreuses propositions qui s\ rattachent. Y cet égard, nous attirerons l'attention uniquement sur les deux cas particuliers d'une suite triple ou quadruple inscrite à /'.

Pour uni' suite triple ('/. ' I, i a -' . /. : . les éléments tangents en (a ' . | / - .'/.') ont en commun, avec les éléments opposés (a - X '■ ), .... trois éléments alignés suivant r : l'éléni.nl tangenl en ( '/., i est conjugué harmonique par rapport à i '/. ' "/ - | el | X ' a ■ , de l'éléraenl qui contienl | X ' ) et le pôle de / - ) : les trois éléments analogues à ce dernier sont alignés suivant (y), pôle de rj

Pour une suite quadruple / ' . ■*/ - . X(3>), (X^*J), les éléments tangents en (V«>) et () ,en ) - el "/ ' , et les éléments (X(I>X<2>) el '/'■'/.' i, i "/. - / : i h (/.•"/ ' i déterminent quatre éléments alignés suivant (r,), el formant un faisceau harmonique; en di>posant les éléments | X) donnés dans tous les ordres possibles, on obtient deux autres éléments analogues .1 < /, I, soil 1 ~ » el 1 0 1. En faisant pour les éléments tangents à f aus éléments Çk), ce que nous venons de faire pour les éléments < X eux-mêmes, on obtient une suite ( r |, (z), (t) analogue à la suite (tj), (Ç . 't 1. Ces dm\ suites sont équivalentes, el . par suite, conjuguées par rapport à la série quadratique /.

227. \ oici encore une application générale très importante. Considérons une série quelconque g = ba$=o, de première espèce par exemple, et de degré/?. Chacun de ses éléments contient deux éléments tangenl- à /*; si les éléments de contact correspondants sont (a) et (p.), la série g = o établit donc entre ('/. 1 el p.) une relation de degré p par rapport aux variables de ces deux couples, et symétrique par rapport à ces variables : en effet, pour les formules canoniques précédemment développées, cette