CHAPITRE VIII. — LE SYSTÈME DE DEUX FORMES QUADRATIQUES. a6l

Cette équation définit la série des éléments (ç) tels que /•' ait une valeur donnée : c'est en général une série biquadratique tangente à cp et à 'b suivant les éléments communs à ces séries et à y.

Pour À" nul ou infini, on retrouve l'équation des éléments communs à f et à g : 4'f'} — /2 — °-

Pour k = — i, on a y = o : la série y est donc celle des éléments (£) tels que les éléments communs à (£) et à y et g forment deux couples conjugués harmoniques.

D'après cela, il est clair que les éléments communs à o et à y. par exemple, sont les éléments tangents à f suivant les éléments communs à /et g.

244. De la même façon, les séries du faisceau (cp, <|) déterminent par leurs éléments communs avec (x) une involution clans l'espace (x).

Si k est le rapport anharmonique des éléments communs à (x) et c? associés aux éléments communs à (x) et <i>, on a

-k) ~ tdd'fg'

f\dcl'fg — h2 = o est donc l'équation des éléments tangents communs ii f cl g; h = o est la série des éléments (x) tels que les éléments tangents àf et g qui contiennent (x) forment deux couples conjugués harmoniques. Les éléments communs àf et h sont, par suite, les éléments de contact sur/des éléments tangents communs à /et à g.

Si g se décompose et représente deux éléments (ç) distincts ayant (x) en commun, h = o représente les éléments tangents à f menés par (x). Si g représente un élément (£) double, h est nul identiquement ; y = o représente les éléments communs à y et

245. Le discriminant de li est dd'(ee' — dd'), et celui de y est ee' — dd' . Si donc on est dans le cas général, c'est-à-dire si d et d' ne sont pas nuls, on voit que les séries h et y se décomposent en même temps, quand on a ee' — dd1 '= o.

Supposons cette condition réalisée, et employons les formes canoniques; on a alors, par exemple, ffo2633+ a33b22== o, et les

éléments fondamentaux O, et 0, jouent un rôle particulier. D'après ce qui a été dit plus haut, h se compose de deux éléments contenant Ot, et chacun d'eux contient deux éléments de contact sur chacune des séries /et g des éléments tangents communs à / et g. De même y se compose de deux éléments appartenant à Q(, et chacun d'eux contient deux des éléments tangents à chacune des séries/ et g suivanl les éléments communs à/ et à g .

De plus, les éléments de la série décomposante du faisceau ( '/, g) qui a pour élément double O, ont pour pôles, par rapport à / comme par rapport à gz les éléments de y; et de même les éléments de la série décomposable du faisceau (<p, •l) qui a pour élémenl double U, onl pour polaires, par rapport à/comme par rapport à a. les éléments de li.

Les deux couples d'éléments de/el :. situés sur Û{ -uni conjugués barmoniques; les deux couple- d'éléments tangent- à/el g ci contenant O, sont de même conjugués harmoniques.

Si \ esl un élémenl commun à / el g . et si II et ( ! -ont les dciw autres éléments communs à/el e qui ne sont pas alignés avec A et O,, le couple AU. A.C esl conjugué harmonique du couple formé par les éléments tangents en \ à /el g\

La propriété correspondante a lieu relativement aux éléments communs à co et ô.

Réciproquement, chacune des propriétés que non- venons d'énoncer entraîne les autres. Deux séries / el g joui --a ut de ces propriétés peuvent être dites harmoniques.

Deux cercles orthogonaux, en Géométrie ordinaire, sont un exemple de deux séries harn iques.