CHAPITRE VIII. — LE SYSTEME DE DEUX FORMES QUADRATIQUES

de 'j» a pour équation

et les deux séries que nous venons de déterminer sont manifestement tangentielles l'une de l'autre, car en remplaçant un élément quelconque par son pôle ou sa polaire par rapport à /, on ne fait qu'exécuter une transformation homographique sur les éléments de l'espace, les nouveaux éléments remplissant le même espace, mais étant d'espèce opposée.

217. Étant données les deux séries /et g, on peut déterminer une série quadratique /• telle que la série polaire de /, par rapport à k, soit£", en appelant série polaire de /par rapport à À" celle des pôles des éléments tangents à/ par rapport à /, .

On voit d'abord que k doit être conjuguée par rapport à la suite triple conjuguée commune à /et g; alors un calcul simple montre l'existence de quatre solutions, que l'on peut écrire, avec les notations du n" 211,

o = y ^ A / [d' (ify-f+i<rv>> h+ d(v>>)* g].

Nous n'examinerons pas les cas particuliers. Indiquons cependant que si f et g sont identiques, k doit être bitangente à /; et, en outre, /.- et/ sont harmoniques : leurs séries invariantes h et y se réduisent aux éléments déterminés par les deux éléments tangents ou de contact comptés deux fois.

218. La polaire (ç), par rapport à /, d'un élément (x) de g peut-elle déterminer sur g deux éléments (y) el(z) conjugués par rapport à/? Ceci exige que Ton ait y = o, d'après les propriétés de la série y ; si donc e n'est pas nul, on a aussi çp = o, d'après le n° 216, et les éléments (£) considérés sont les éléments tangents à/suivant les éléments communs à/et à g. De là résulte qu'il n'existe pas de suite triple proprement dite, conjuguée par rapport à /et inscrite à g.

Mais si l'invariant e est nul, on a y= o, quel que soit (x); il existe alors une infinité simple de suites triples conjuguées par rapport à /et inscrites à g; chaque élément de g détermine l'une d'elles.

On a ainsi la signification géométrique de la condition e = o.

■2(j$ LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

La condition é '= o aura une signification analogue, les rôles de / et g étant renversés.

De plus, un raisonnement semblable montre encore que si e' n'est pas nul, il n'y a aucune suite triple proprement dite, conjuguée par rapport à / et circonscrite à g; si e' = o, on a, au contraire, une infinité simple de telles suites. On a ainsi une nouvelle interprétation de la condition e'=o et, par suite, de la condition e = o.

Celte double interprétation résulte immédiatement de la dualité déjà signalée entre les invariants des systèmes /, g) el (cp, <l).

2 iit. ( le que nous venous de dire se modifie dans les cas particuliers où les séries /et g ne -mil plus toutes deux indécomposables. Supposons que

/= «ii^î " i i a„xl,

ce qui est toujours possible, g étanl quelconque. Alors

e — atia V<M a-%%ci\ i &« -+- "n " '

Si /"est carré parfait, e esl nul. Si / esl décomposable sans être

carré parfait, de sorte que par exemple alt = o et û^^ss^Oj

alors e s'a n nu le m même temps < 1 1 1 •• />,, . Donc c = <> signifie que

l'élément multiple de y appartient à gr.

On a aussi

e = «11 pu H- .3 ;

si f esl carré parfait, de sorte que a22=a.n=o, e' s'annule avec ^h : donc e'= o signifie que L'élément \ . représenté deux fois par/, est tangent à

Si /esl décomposable sans être carré parfait, comme plus haut, on verra sans peine que les éléments représentés par/= o sont conjugués par rapport à g.

La même méthode pourrait être employée pour retrouver les résultats du numéro précédent, dans le cas général.