CHAPITRE I. — INVARIANTS DES SYSTÈMES BINAIRES

On a ainsi un moyen de déterminer les invariants par la méthode des coefficients indéterminés.

On pourrait multiplier les propriétés analogues, servant à faciliter le calcul des invariants.

29. Nous admettrons que, pour un système quelconque S, il existe toujours un système de Q invariants, qui ne sont pas tous indépendants, tel que tout autre invariant du système soit une fonction entière de ceux-là : un tel système d'invariants est dit complet.

Cette proposition est connue sous le nom de théorème de G or dan : elle a été démontrée d'une façon générale par M. D. Hilbert [Mathematische Annalen, Band XXXVI). Nous ne nous occuperons pas de la formation des systèmes complets, sauf dans quelques cas particuliers.

On réserve ordinairement le nom d'invariants aux fonctions invariantes qui ne dépendent que des coefficients des formes du système S; celles qui dépendent aussi des variables de première espèce sont alors des covariants ; celles qui dépendent des coefficients et des variables de seconde espèce sont des contrevariants; celles qui dépendent des coefficients et des variables des deux espèces sont des formes mixtes. Les invariants qui ne dépendent que des variables sont en outre dits identiques. Nous avons confondu toutes ces fonctions sous le nom générique ^invariants, pour plus d'uniformité.

30. Les invariants soumis aux conditions d'homogénéité indiquées précédemment sont les seuls intéressants au point de vue géométrique.

L'évanouissement d'un tel invariant correspond évidemment à l'existence accidentelle d'une propriété projective du système S, c'est-à-dire d'une propriété qui subsiste après une transformation de coordonnées, ou quand on remplace le système S par celui qui lui correspond dans un espace homographique quelconque; de plus, celte propriété est accidentelle, c'est-à-dire ne se présente pas si les coefficients du système S restent arbitraires.

Réciproquement, toute propriété de ce genre, correspondant

à une seule relation entre les éléments du système S, est évidemment exprimée par l'évanouissement d'un invariant.

L'importance géométrique de l'étude des invariants d'un système binaire est ainsi mise en évidence.

— Théorèmes généraux sur les invariants.

31. Soit un système S composé comme précédemment; supposons que dans l'une des formes du système, f par exemple, on regarde certaines variables, soit les (#), comme des constantes : on a ainsi un nouveau système S,. Tout invariant du système S, est encore, quand on y considère à nouveau les (x) comme variables, un invariant de même ordre du système S. Cette proposition se généralise évidemment : on peut considérer plusieurs séries de variables comme constantes dans plusieurs formes.

Pour démontrer ce théorème, considérons une seule l'orme aux seules variables (x) et (y) : /* = axpyt\ le raisonnement que nous allons faire s'étendrait sans peine à tous les cas possibles. Soit F = A,?, la forme/où les (x) sont regardées comme constantes; soit aussi J(A, y) un invariant d'ordre tu de F.

Effectuons la substitution 7 sur les (y) seules, dans F; F devient F'= Aj 7 et l'on a

J(A\/) 8nJ(A,7).

Dans F' faisons subir aux (x) la transformation 7; on obtiendra F"— A'j.7, et cette forme sera évidemment identique kf "'xryn obtenue en transformant dans /les (x) et les (y) par la substitution <t. Si donc on considère les (A') comme fonctions des (a!) et des (x')i comme ils sont égaux aux (A"), on voit que ce sont les mêmes fonctions des («') et des (x') que les (A) des (a) et des (x). Par suite, en désignant par I(«, x, y) ce que devient J(A, y) quand on l'exprime à l'aide des (a) et des (.r), on a :

I { a', .?•', y')— o!J- li'/. x y. ), ce qui démontre le théorème.

32. Soit un système S et considérons de nouvelles formes F, G, . . . qui soient des invariants du système S, des ordres u.