CHAPITRE 1 • — INVARIANTS DES SYSTÈMES BINAIRES

a', ... quelques-unes de ces formes pouvant coïncider par suile avec quelques-unes des formes f, g, ... du système S. Considérons le nouveau système Sj composé des variables (x), (y), . et des formes F, G . . . et soit J un invariant d'ordre v de ce système, des degrés h, h' ', . . . d'homogénéité par rapport aux coefficients (A), (B), . . . des formes F, G, ... : ce sera aussi un invariant d'ordre v -+- \xh -+- u//i'+ ... du système S.

En particulier, on peut dire par suite que les invariants des invariants d'un système sont eux-mêmes des invariants de ce système.

Comme précédemment, il suffira d'exposer la démonstration de ce théorème sur un cas simple. Soit donc /= axv une forme aux seules variables [x) et un invariant d'ordre tj., F = A**, de cette forme. Soit J un invariant d'ordre v de F, de degré h par rapport aux (A). Si /'= axT et F'= A^.,* sont les transformées de / et de F par la substitution a-, on a

F{a',cc')= o\>-F(a, x), J(A', x')= o*J(A, x).

F' étant identique à F, on en conclut que les (A') sont les mêmes fonctions des (a1) que les (A) des (a), au facteur o~v- près. Si donc J(A, x) devient 1(«, x) quand on l'exprime à l'aide des (a), on a, d'après les hypothèses faites,

ô-P-MO', x') = oH(a, x) ou bien

!(«', a?')= ov+p-/*I(a, x),

ce qui montre bien que I est un invariant d'ordre v -h \xli de /.

33. Soient un système S et une nouvelle forme F qui soit un invariant d'ordre [x du système S. Considérons F comme dépendant des variables (x), (y), . . . , (i), (V), • • • » de sorle <Iue

F = Axkyl...î*n''...-

Substituant la valeur de F dans les équations aux dérivées partielles que vérifie F, et égalant à zéro le coefficient de chaque monôme tel que x\> x^y\yli . . . Q&rfrrfc . . . , on obtient les importantes relations qui suivent, où les opérations A/y s'appli-

3o LIVRE I. — LV GÉOMÉTRIE BINAIRE.

quent aux coefficients (A), considérés comme fonctions des éléments du système S autres que les (x), (y), . . . , (;), (*|), . . .

àllA*„*s;..."x„X.;... = ( [J- -+"£,-+- /,—...— /.! — Xi — . • • )-U, .*,... .X),Xi;..., A«A*1,A:ï;...xl,Xs:... =^^>,+l,(r';-«i*.:-+' ■ • — *lA*1^...x,-l1xrH;... — • • • •

^2iA/,1/-.,;...-/.1,x;;... =^iA*1-a.+i;-Xi,Xs;- ■+"■ • • — ^"^...Xi+i,»,- 1;... • ■ • • A22 Afr„*s;. ..-/.„-/.,;... = (f* -+- A-j-r- /2 — • • • — *j — Aj — ... )A.kl,kt;...,%l%Si...-

La première et la dernière de ces relations montrent, ce que nous savions déjà, que le coefficient AXi^. ./iV,;; est une fonction isobarique des poids respectifs u, + kt -+- l\ -+- . . . — x, — A, — . . . , u | £2 ) l2 4- . . . — x2 — X2 — . . . , par rapport aux indices i et 2.

Supposons que F ne dépende que des (x), et considérons le coefficient A*,0 des poids respectifs a -h A" et u,. 11 vérifie l'équation A,2F = o, et, de plus, on a successivement

A/fc-l,l= -7 AÏ(A^ \ >,î -= ^— - — A;, \/,-|.|

d'où, en général,

donc tous les coefficients A*^ sont déterminés par A*i0, appelé-, pour cette raison, source de l'invariant I .

34. Considérons, réciproquement, une fonction G, entière par rapport aux éléments du système S, sauf les (x), qui n'y figurent pas, isobarique par rapport à chaque indice, et vérifiant l'équation A,2G = o. Une telle fonction est dite semi-invariante pour le système S, ainsi réduit : c'est évidemment un invariant pour les transformations du groupe qui résulte des substitutions 7,,, o-12, ?22, c'est-à-dire pour les substitutions 9 dans lesquelles on a X21 = o; une telle fonction se reproduit, après une telle substitution 7, multipliée par A-*',)»^, si P, et P2 sont ses poids respectifs par rapport aux indices 1 et 2. Inversement, tout invariant de ce groupe particulier peut être pris sous la forme de G.

Nous observerons que l'on a nécessairement P,^P2; en effet, les identités relatives aux opérations A/y donnent sans peine, avec