CHAPITRE VIII. — LE SYSTEME DE DEUX. FORMES QUADRATIQUES. 1~ J

Les invariants de g sont

jx = 2 ( a2 — a3 ), *'2 = a„ a.; -h ai 4- ia\ — 4«i a*:

a0 a! a2 ai a3 a., a2 a; as

en employant les notations du n° 110.

Par suite, la relation entre (.r) et (x{n)), dont nous appellerons les coordonnées binaires (\) et (p.), est

gn= g-r <*,ig — ">7i[-

o' étant une forme semblable à «- qu'il est inutile d'écrire et qui sera déterminée plus loin; d'ailleurs

w/jW^-t-i w«-i = 16

»sy'i j"i

li ] \

HJ\ ./

OJ.i

Ji î

On voit donc que le lieu cherché de (ll{n)) est une série quadratique gH, et le discriminant de g„ par rapport aux (p.) étant le même que celui de g, la série tangentielle de gn appartient au faisceau (cp, <b).

Les remarques du n° 111 montrent suffisamment comment on trouvera les éléments communs aux séries g et gn, en partant, suivant la parité de n, soit des éléments communs à / et g, soit des éléments de contact des éléments tangents communs à / et g.

On voit aussi que, si ton n'est pas nul, il n'existe pas de suite proprement dite (£ç(,) . . . l{,l)) circonscrite à / et telle que la suite équivalente soit inscrite à g : d'après ce qui précède, on détermine immédiatement les suites dégénérées qui répondent à cette question .

Mais si to„ = o, la série g„ coïncide avec g, et il y a une infinité de suites répondant aux conditions que nous venons d'indiquer.

Les invariants to,,, ou plutôt leurs numérateurs quand on les a mis sous forme de fractions rationnelles, sont les invariants de fermeture pour le système/, g.

260. Nous allons exprimer les invariants de fermeture en fonction des invariants c/, d', e, e' des séries /, g. Soit

n étant quelconque, et prenons g sous la forme' canonique en supposant a, eta4 nuls; ceci revient à supposer <jue 0| a même polaire par rapport à /et g : alors l'équation ordinaire de g est

y.-,/] -+- a0.r| + a.^.r2-*- 2('>.a3 — Xi)xtxa = o, en employant la représentation canonique du n" ^o. On trouve

rfrz-40», « = - ï./,^, «'=(», i/AT, ,/'=;,+ '2^

et, par suite.

e2— (rfe'

8</(8rf*</' — 4 tfee' -+-<■»)

(e5'— 4 de')2 e2— ,^/e'— 4 <afW u)„<t d1*

Au surplus, on a ici

g' = Ct0<*tM IJ-1 + *2<>2— 2«s)(^ÎHl-+- ^2!Xl )