VII. — Les invariants de fermeture

259. Considérons un élémenl [x) de/*; l'élément ( ç) langenl à/en (a?) détermine sur £ deux éléments, (>■) et (r ' )\ pary(,; on peui mener un nouvel élémenl tangent (ç ' l touchant/en (#(')) ri ayant < r- i en commun avec g; on peui opérer de même avec i y - ), et ainsi de suite.

Ceci posé, on cherche le lieu de l'élément commun à (£) ri | ; " ), c'est-à-dire, encore qu'une suite <!<■ n -+- i éléments (£), i ; ' ), i ; - ), .... i ; " ) riant circonscrite à/, et les éléments^ ' I .... (;; ' », (r - ) ou I : ' ; - ), . . . , (,r" ) ou (; ■"-• ; « ) appartenant à g, on cherche le lieu du dernier élément de la suite équivalente, (;; ").

Définissons la série / comme série rationnelle, et employons toutes les notations du § 111 du Chapitre précédent. On voit que tout revient à chercher la relation entre les éléments de contact (x) et (x(")). Cette question a été résolue au n" 110, puisque la série g peut être considérée comme définie par une relation doublement quadratique par rapport à des variables binaires, et symétrique :

g = 0L0l\ p* - 28, X, (1, ( À, -J., - X, |X, ) + a,(X* ai -+- Xf fl« )

-f- 4 a3 a, Ào tj-j ;j-2-î- 2avÀo;/2< À, p2H- XjfXi) -+- at«Xf (x|.