CHAPITRE VIII. — LE SYSTÈME DE DEUX FORMES QUADRATIQUES

Il sera facile de transporter à la question que nous venons de résoudre toutes les remarques faites au Livre précédent au sujet de la forme doublement quadratique. On observera, à cet effet, que l'équation dK = o du n° 10G définit ici les éléments de contael avec /" des éléments tangents communs à f et à g', que l'équation y, = o du n° 108 définit les éléments communs àf et g', .... C'est ainsi, par exemple, que si ~k3 est nul, les éléments de contact avec g des éléments tangents communs à /'et g déterminent, pris deux à deux convenablement, deux éléments de seconde espèce tangents à /"; ....

L'interversion des coordonnées des deux espèces permettra encore d'énoncer immédiatement de nouvelles propositions sur lesquelles il est inutile d'insister.

261. On aurait pu arriver aux mêmes résultats en appliquant ce qui a élé dit au n° 231. On eboisit g sous la forme canonique employée tout à l'beure, et l'on obtient tout de suite, en prenant d'abord pour la série h du n° 231 la série g elle-même,

gi = Oo «s — A)' O- 1 [^ + X o ;j.,)2 -H i6a* (a„ X , p.] — <x2 X2 fx2)(a2 X , |j., — a.; X2 ;ju);

on remarquera ensuite qu'en prenant pour h la série gn, on trouvera, pour les séries désignées par F, etF2 au n° 231 , précisément les séries ga~\ et gn+\ • Ou peut donc obtenir ainsi g,,+ \ de proche en proche.

On fera le calcul rapidement de la façon suivante. Soit

/= anx\-\- «22.r| -+- a3ix\, g= bnx\-\- b%ix\-\- b^x\ ;

prenons la série tangentielle de g„ sous la forme

lnd'o + d\> = o;

si alors on écrit que g//+i contient un élément (x) commun aux deux éléments tangents à f menés par les éléments de contact sur g et sur gn d'un élément langent commun à ces deux séries, on obtient la relation

d'^l X»+1 - aed'A„X/l+1 - 4 dd\\n -t- X,i+., ) + e2— 4 de' = o.

On en déduit immédiatement la loi de récurrence déjà obtenue, puisque cette relation subsiste quand on change "kn+\ en ^«-»«

Si, plus généralement, ~kfl est quelconque, l'équation précédente en A„+, sert à définir les deux séries F, et F2 du n° 231.

2G2. Nous venons de voir encore une fois comment l'étude du système de deux séries quadratiques ternaires se rattache à celle de la forme doublement quadratique à variables binaires, symétrique. On peut aussi la rattacher à l'étude de la même forme, mais générale, et non plus symétrique.

Supposons la série y représentée comme série rationnelle par les formules canoniques du n° 225, son équation étant par suite comme précédemment

f=(X\ \XtXi)(t.

L'élément tangent en | /. i à / est

— X, À, XX + X| T., — Xf .?'., — O.

Si alors une série rationnelle g de degré /> est définie par les

formules

F ''■ = AV pi, Us),

on peut encore définir celte série par l'équation

g = — À , X, .V, ( ;x, , fij ) + X -, g, ( |Xi, \lt ) -*- X| g3 (ni, fi, i : O,

dont le premier membre est une forme générale des degrés i et p par rapport aux variables (À) et (u,). Réciproquement, une telle forme peut être interprétée de cette façon : égalée à zéro, elle établit la correspondance qui existe entre les éléments (a) et (u.) des sériesy"et g lorsque L'élément (A;-*-) est tangent à /'eu (a). On voit d'ailleurs aisément comment cette représentation nouvelle peut être généralisée; mais nous pouvons nous borner à ce que nous venons de dire

Si la série g est linéaire, on obtient une forme linéo-quadratique, et, par suite, les couples d'éléments Çk) qui correspondent aux (jj.) déterminent sur y une involulion.

Si la série g est quadratique, on est amené à l'étude de la forme doublement quadratique générale, et il est facile de transporter au cas qui nous occupe les résultats obtenus aux n' s 106 et suivants.

Le discriminant de g par rapport aux (;jl) définit les éléments de contact avec y des éléments tangents communs àfclg; le