CHAPITRE VIII. — LE SYSTEMS DE DEUX FORMES QUADRATIQUES

discriminant de g par rapport aux (X) définit les éléments communs à / et g sur g; en se servant de ce que les rapports anharmoniques des racines de ces deux discriminants sont égaux, on retrouve une propriété connue du système y, g.

Si l'on suppose la forme «réduite à la forme canonique

g = Xi(«of*i-l-Yoî*I )■+■ î ?i >w X2 [0.J [-t., h- X3 (a2 [j.f -f- 72 ;j-| ),

on a, pour définir la série g,

p^i = — 4 Pi [J-i 1*2,

px3 = «o(^?-t- Yo !-t|,

et l'équation ordinaire de g est par suite

(«0Y2— rJ-2'[oT-^l + i6p|(a0^2— ^2^3)('!o^-2— "i%xs) = o;

0( et O, sont pôle et polaire par rapport à f el g.

Les invariants de y et g sont, en fonction des invariants de la forme g, désignés comme an n° 106,

d — — 4a3> fi = — 4t2'vi e'= — 3'2C7f2«'|, oT = — 64^3.

Nous ne nous arrêterons pas davantage sur les résultats que l'on peut obtenir en poursuivant cette élude en détail.

VIII. — Le système de deux formes quadratiques d'espèce différente.

263. Supposons données deux formes quadratiques d'espèce différente, soit

/1 = «x>, <Vi = h3-

Ce cas se ramène immédiatement à celui que nous avons étudié dans les paragraphes précédents. Il est cependant utile de définir

directement les invariants du svslème ainsi formé.

Les discriminants de/', et àt seront 0 et 0'; leurs formes équivalentes seront

et l'on aura

au= œ22a33 — a|3, ..., ôn = £22^,3— Pf3,

On a encore les invariants évidents

£ =ï]1i1|+...- ■> :233 &-2-i — • • • ) e' = «il pu -H. . .-+" 2<723 3o3-f-. . . :

d(8'd/i) da>]

La forme A)/", +^A''i (U1 faisceau (/, . g{) a pour discriminant oA J -4- EÀf Aj + e S A i A | --- o * A §,

el pour forme équivalente

Xfçi -i- À, /.2/i m- o'/.'i 'l; :

de même la forme ut, <pt + ^j^( du faisceau (s,, •.!/,) a (tour discriminant

el pour forme équivalente

8f*ï/i - :;i i^î^i + h1! fi-

264. Dans le cas général où o ci 8' sont différents de zéro, la signification géométrique des invariants que nous \ enons de définir est évidente. Mais supposons par exemple que o' soit nul, et que ^, = 0 représente deux éléments de première espèce A el B. Alors gt = o représente (AB) deux fois; e = o est la condition pour que f touche (AB); e'= o est la condition [tour que A cl B soient conjugués par rapport à /'; les séries du faisceau (/",, g{) sont bitangenles suivant les cléments communs à/, et à (AB); les séries du faisceau (»j, 'l{) contiennent les éléments tangents à ft menés par A et B; y, = o représente les éléments communs à /', et à (AB); ht = o représente la série des (x) tels (pie les éléments tangents à f, menés par (x) soient conjugués harmoniques par rapport à (#A) et (.rB).

Si ^, = o représente deux fois un même élément A, gs est nul identiquement; 0' et s sont nuls; e'= o est la condition pour que A appartienne àf; les séries du faisceau (o,, »|,) sont bitangenles suivant les éléments communs à o, et à A; y, est nul identique-