Examinons quelques cas particuliers

i° Les séries y*, et g{ restant distinctes, la correspondance quadratique définie par le faisceau (/, g) ne pourra être involutive [c'est-à-dire que chaque élément (x) aura même correspondant, quand on le considère comme appartenant soit à X, soit à Y] que si les formes f et g sont symétriques par rapport aux (x) et aux (j-), c'est-à-dire si les réciprocités f et g sont elles-mêmes en involution sans être spéciales. Dans ce cas, à chaque élément (x ) correspond l'élément commun à ses deux polaires par rapport à /*, et gK. 11 est donc inutile d'insister : on est ramené à l'étude du faisceau de deux séries quadratiques.

Ce cas est en même temps le seul dans lequel les éléments singuliers du faisceau (f, g\ correspondant aux mêmes racines de l'équation A = o, sont les mêmes dans les deux espaces X et Y.

20 Les séries /*, et gK peuvent être confondues, ou bien l'une d'elles disparait identiquement. Dans ce cas, le faisceau (/, g) contient une réciprocité spéciale. 11 existe une série simplement

iOO LIVRE II. — LA. GEOMETRIE TERNAIRE.

infinie d'éléments qui coïncident avec leurs correspondants. Il y aura involution si, en outre, le faisceau ( /, g) contient une réciprocité involulive non spéciale. Ce cas particulier peut recevoir le nom d'inversion.

On l'obtient, par exemple, en supposant que g définisse la réciprocité inverse de /'; en d'autres termes, en supposant (./ ') appartenant successivement à \ et Y, et prenant pour (y) l'élément commun à ses deux correspondants. Réciproquement, toute inversion peut être obtenue ainsi, et d'une infinité de façons.

Si nous supposons que f corresponde à la réciprocité involulive

non spéciale, et g à la réciprocité spéciale, on pourra prendre en

général

/= ailxtyl a23i '.y.,-- .r-,)-, >.

les formules de correspondance sonl alors

■> Il , ;./■,'•. ''; ; ./'l r., tl [{ X\ '•,

Les propriétés de cette correspondance sonl ainsi en évidence.

Les éléments singuliers dans les deux espaces X et Y coïncident encore ; mais Oa et 03 correspondent dans ces deux espaces à des racines différentes de l'équation A o.

Quatre éléments correspondants deux à deux appartiennent avec < L et 03 à une même série quadratique.

Si la séné /', se décompose, on prendra

et l'on aura

Si l'élément singulier de g appartient à/*,, on pourra prendre

/ aS3x3y3 als ./•, y: - - a*2 j g = b23(xsy3 — x3yz 1,

et Ton aura

- («33^3 -H H\-2 ' 1 •' "li!-'';> "\<-'-r.

Si y, se décompose, on est ramené à l'homologie.