CHAPITRE Xir. — UA SÉRIE CUBIQUE

Si la série quadratique g louche/en Irois éléments A,, A2 A,, les éléments tangentiels correspondants T,, 1 2, T3 sont alignés, comme on le voit en considérant la série cubique/", celle formée par les A;T,, et celle formée par g et T, T2.

Si donc on se donne A2 et A3, T\ est déterminé, et A, est l'un des quatre éléments de contact des éléments tangents à/ contenant T( ; toutefois l'un de ces éléments est aligné avec A2 et A3. et ne donne pas de solution proprement dite : il y a donc trois systèmes de séries quadratiques triplement tangentes à /.

Ces trois systèmes sont, d'après le n° 301, les séries p(.y, £) relatives aux trois séries cubiques dont/" est la hessienne.

Si la série quadratique g a un contact du second ordre avec/ en A, et A2, et si A| A2 a encore en commun avec / l'élément B, celui-ci est inflexionnel, comme on le voit en considérant la série cubique/, celle composée de A,A2 trois fois, et celle composée de g et de l'élément tangent à /'en B. Si donc on se donne A,, il lui correspond neuf positions différentes de A2 ; il y a neuf systèmes de séries quadratiques doublement osculatrices à /'.

Si A, et A2 se confondent, la série g a un contact du cinquième ordre avec/; il y a vingt-sept telles séries, et les éléments de contact A, sont les éléments communs à/et à ses neuf polaires harmoniques.

Les résultats que nous venons d'obtenir subissent des modifications évidentes, si la série/ a un élément multiple.

310. Le théorème fondamental qui nous a guidés dans les numéros précédents peut se généraliser. Nous savons en effet (100) que, parmi les dp éléments communs à la série cubique / et à une série de degré />, on peut en regarder un comme déterminé par les autres, de sorte que toutes les séries de degré/? qui contiennent Sp — i éléments fixes de /, en contiennent encore un autre qui est fixe.

En appliquant convenablement ce théorème, on verra, par exemple, que les six éléments tangentiels des éléments communs à /et à une série quadratique appartiennent eux-mêmes à une même série quadratique; que, par suite, si g est une conique triplement tangente kf en A,, A2, A3 et si une série quadratique quelconque contenant A,, A2, A3 a encore B,, B2, B3, communs

avec y, il existe une série quadratique triplement tangente kf en B,, Bo, B3 ; etc.

317. On peut rattacher l'étude de la série cubique à celle de la forme bilinéaire à deux séries de variables binaires.

Si

est la forme donnée, il suffit d'imaginer, par exemple, que les (),) définissent les séries quadratiques d'un faisceau

h et k étant deux formes quadratiques ternaires; et que les (;j.) définissent les éléments de seconde espèce d'un faisceau

En cherchant le lieu des éléments communs aux séries (),) et (a), quand on suppose ^ = o, on trouve une série cubique, la plus générale de son espèce. Ceci correspond à ce que m mis avons dit au commencement du n" 315.

Nous n'insisterons pas sur cette façon d'envisager une série cubique.

318. On peut encore rattacher l'élude de la série cubique à celle d'une forme doublement quadratique à deux séries de variables linéaires, g ( ')., ja) =o.

A cet effet, on considérera les deux faisceaux de séries linéaires

*iO, | ■*•) -+- AS(Ç| X I = ,,. |Xi(6 | x) -+- [i,(v. | x) = o,

el l'on cherchera le lieu de l'élément ci un m un aux séries (À) et (".), sous la condition g = o, en supposant que l'élément défini par i y ' | et (Ox) se corresponde à lui-même dans les deux faisceaux en vertu de g = o.

La série cubique ainsi obtenue contient (?X) el (^x)- Inversement, prenons sur une série cubique f deux éléments fixes et un élément variable; les éléments définis par les deux éléments fixes et l'élément variable sont liés manifestement par une relation doublement quadratique.

Supposons que les éléments fondamentaux O, et 03 soient les