CHAPITRE XII. — LA SÉRIE CUBIQUE. 3 J
deux éléments fixes, et que Û3 et Q2 soient les éléments tangents correspondants, de sorte que
/= axx\ -h Za%zx\x3 -+- 3rt32.r|^2-f- 3rt13^f x3 -+- ianx\ x2 -+- 6ciXiX.2x3;
écrivons que X, xt -t- X2^3= o et |x, xK -f- {a2#2 = o ont en commun un élément de/; il vient
O = g= 3(<Z32Xf [-tlJ-U-t- «23 ^1 X2 fJLf ) -1- 3 ( « ! 3 X ! X 2 ;JL | -H «I2A||jt, |JL, )
— 6« Xi X2 jj-i [J-%— «i X| [j.|.
Le théorème relatif à la constance du rapport anharmonique des quatre éléments tangents à / contenant un élément donné de/, résulte alors immédiatement des propriétés de la forme doublement quadratique.
Sans insister davantage, remarquons que l'on peut appliquer la théorie des nos 110, 111 et 112 à cette représentation. Si l'on considère, comme au n° 112, la relation doublement quadratique symétrique qui lie les deux valeurs de (À) correspondant à une même valeur de (jj.), l'invariant wn du n° 110, relatif à cette forme, égalé à zéro, exprime que l'on peut trouver une suite proprement dite de 2«-j-2 éléments, inscrite à /, et telle que les éléments de seconde espèce de cette suite, pris de deux en deux, contiennent les uns l'élément 02, les autres 03.
11 y a alors une infinité simple de telles suites.
Si n = 1 , la forme dont nous venons de parler doit être un carré parfait, pour qu'il existe des suites de quatre éléments jouissant de la propriété précédente. Donc il faut que l'invariant i3 de la forme g soit nul; or, ici,
la condition i3= o revient donc, en supposant que 02 ou 03 n'est pas multiple pour/, à «, = o; les éléments tangents à /en 02 et 03 ont en commun un nouvel élément de/: 02 et 03 sont correspondants sur/, comme il était facile de le prévoir. .
Si 02 et 03 sont inllexionnels, on vérifie sans peine que o>2= o.
319. Envisageons une suite de in éléments, A, B, A2B2 . .. A„B„, inscrite à/et telle que A, B,, A2B2, ... d'une part, B, A2, B2 A3, ... d'autre part, contiennent deux éléments fixes de/, Ct èt'C*. 11
jjj LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.
est facile de voir que. de même, les éléments A,Ba, A2B*+1, A3Ba-+2, ••• contiennent un élément fixe Ca de / : en effet, la série cubique /, celle formée par A, B*, B, AoC,,, A*+1 BA.+, C,, et celle formée par AoBa+i, A,B,C,. BaA*+i Cn ont en commun huit éléments et, par suite, un neuvième élément qui est précisément G/;-
Si nous disons de deux éléments tels que C( et C„ qu'ils sont correspondants pour le nombre />, on voit tout de suite que deux quelconques des éléments < ,, sont aussi correspondants pour le nombre n ou l'un de ses diviseurs : s'il s'agit de C/, cl de Ca par exemple, il suffit, pour vérifier l'assertion précédente, d'envisager la suite \|B/, V/,. *+, B2a* A2a-2*+i B3a a • « •• chaque indice étant remplacé par son plus petit reste positif par rapporta n. On verra aussi que les A/ OU les 15/ jouent par rapport aux B,' et G/ OU A, et C/ le même rôle qu<' les C/ par rapport aux A, el B/.
Si \, el !'>,. \< et l'>, sont deux couples d'éléments correspondants pour le nombre />, et si \, \^. B,B.> ont encore \: el l>; communs avec f, A3 et B;t forment aussi un couple d'éléments correspondants pour le n bre // ou l'un de ses diviseurs.
Considérons, en effet, une suite C,l), <'.. I M '... I >:, . . . correspondant au premier couple, et une suite C, D', C'2 D2 C3 D'a . . . correspondanl au second couple; soient G] e\ D^ les troisièmes éléments communs à f el à C/C'^ el l',l>j. et envisageons la suite G'^D'I G.', I » ,< . I » . . . ; d'après un théorème connu, les éléments C'^D", C'D'j, ... d'une part, l),( '... I1 ( . ... contiendront respectivement A3 el l>;t, ce qui démontre la proposition. En particulier, on peut supposer que V. el l>. coïncident en un élément quelconque de f.
On peut supposer encore que \, et \2 coïncident ainsi que B, et P>o. Réciproquement, on démontrera alors d'une façon analogue que si \, ei B) sont correspondants pour le nombre i>, et sont les éléments tangenliels de A2 et B2, ceux-ci sont eux-mêmes correspondants pour le nombre in ou l'un de ses diviseurs.
