La forme g admet pour invariant multiple le déterminanl

- djj\ i 0\t\ i d\fi 6 dXf 6 dli'Jl, (i dl\

t d^ i d*/i i ^ 6 ûl] 6 dX,dX2 6 <^X|

1 d2ïi l dt/» l <0ii

pour les formules canoniques

h = abe(\f+ X\ >;

le discriminant de celte forme // en (X), soit ici — a*t/'c'', est le seul invariant multiple proprement dil de la forme g. Les invariants de f s'exprimenl facilement en fonction de ce discriminant dé //.

Le hessien de l'invariant h définit les valeurs de (X) qui correspondent à l'élément double de / : l'invariant cubique de h définit les éléments de contact <le^ éléments tangents à f contenant les éléments inflexionnels : ceci résulte immédiatement de ce qui sun ra.

Dans le cas d'un élément cuspidal, on a

h — — )nhc'/.\ >..; :

le discriminant de h est nul.

324. Cherchons la condition pour que trois éléments (a), (a), (v) de f soient alignés; (À), (;jl), (y) étant racines d'une équation telle que g = o, on voit tout de suite, en se servant des formules canoniques, que Ton a

>\ f*lVj

Sàj ;-i|V2= o,

suivant que l'élément double est ordinaire ou cuspidal.

D'une façon générale, la condition cherchée est /<)av = o, si h\> est l'invariant h défini plus haut.