CHAPITRE XII t

L \ FORME TRILIN É W!!K.

3iG. Considérons une forme / linéaire à la fois par rapport à des \ariaWes (x), (y i, (z) : ces variables définissent elles-mêmes des éléments qui remplissent troi> espaces X, Y, Z; ces éléments peuvent être supposés de l'une ou de l'autre espèce; ces espaces peuvenl être supposés distincts ou coïncidants, en tout ou en

pailie.

L'élude générale d'une telle forme comprend, en particulier, celle d'un réseau d'homographies ou de réciprocités entre des espaces coïncidants ou non, celle d'un réseau de séries cpiadraliques et celle d'une série cubique. Nous allons donner quelques indications sur celte étude, qui, développée complètement, prendrait une trop grande extension.

Nous supposerons d'abord que les espaces X., Y, Z sont distincts : dans ce cas, les <./), (y), (z) peuvenl être supposés de première espèce, sans diminuer la généralité, et les Ci), (v) , : désigneronl les éléments de seconde espèce des mêmes espaces X, Y, Z.

La forme /= 2< /|/A. riy, zk dépend de \ingt-sept coefficients, el par suite possédera trois invariants multiples proprement dits distincts, au moins : un calcul simple montre qu'il n\ en a pas davantage. Ceci admis, nous prendrons immédiatement / sous la forme canonique suivante, possible en général, puisqu'elle nous fournira trois invariants proprement dits distincts :

fz= "i'-|J'i -î — a-,.r..y,z.i- ",'..y.z.

— biXXy%z%-\- bixiy3z1-+- b3xzy\z%

— clx1f3zî-\- c2x2yiZ3-h Ci.r.j y-iZ\.

Nous désignerons respectivement par /, m, n les trois lignes du