CHAPITRE XIII. — LA FORME TR1LINEAIRE
second membre de cette formule, et nous ferons de même
X = a2 Cl3 £l ft 1 £l + «3 «1 U r,2 It + «1 «2^3 >Î3 &J,
{1. = i263^r,2^-H ^n^i^^ssi-H ^iMs'iiÇ*, v= cîc3^raKï+ Ci^iU^i-.-i-^- CiC2Ç3ïlîÇl-
Nous ferons aussi
a.= flia2a3, fi = blbib3,
Y = Ci t'9C
y = Py + ï* + «Pi
327. La forme f fait correspondre à un élément (x) de X, par exemple, une réciprocité entre les espaces Y et Z, d'équation/7^ o ; à l'ensemble des éléments de X correspond ainsi un réseau de réciprocités entre Y et Z. Cherchons le lieu des éléments (#), tels que la réciprocité correspondante soit singulière : on a pour définir ces éléments et, en même temps, les éléments singuliers correspondants (y) et (z) dans Y et Z, les deux systèmes d'équations
fli^l^l-H C.3.T3 r2-h b.2x2y3 = o, b3x3yx + a%x%y^-\- CiX{y3=o,
C2Xiyi-+- 6l^l.72+ «3^3j'3= O,
«1r1Ci+ 63^3^2+ cixizz-= o,
C3X3 Jj-f- a j 57.2-2+ 6ia7i^3= o, 62 2-2-1+ Cla?1-22 + «3-^3^3 = °-
Le lieu des (x) est donc la série cubique
alxl c3x3 boXo bsx3 a-jXo Ci Xi c»x-, bixx a3x3
= — aibxC\x\ — a-i b%c%x\ — ci3b3c3x\ -+- sxyXzX3 ;
celui des (y) est de même
«1JK1
hyi
biy-i
cî7i
= — atbi cty\ — a2bt c3y\ — a3b% clyl~h sy,y.2y3;
et celui des (z)
a, ci
ci -2
Mi
= — a v boc3z'l — «2^3^1-3? a36iC2^3 + SZ\Z2i3
On voit tout de suite que, de même, g* est le lieu des {y) tels que la réciprocité correspondante entre X et Z soit singulière, et que
gt et ^3 sont les lieux des éléments singuliers de cette réciprocité dans X et Z; ....
A un élément (ç) de X, considéré comme lieu d'éléments (.z), correspond un faisceau de réciprocités entre Y et Z; les éléments singuliers de ce faisceau correspondent aux éléments communs à g, et (£); deux d'entre eux sont confondus si (£) louche/; ils sont confondus tous trois si (H) est élément tangent stationnaire pour/.
Si Ton considère le réseau de réciprocités entre Y et Z défini par/ on peut dire que g2 ei g3 sont les lieux des éléments singuliers des réciprocités singulières de ce réseau; on peut dire aussi (pie g2, par exemple, est le lieu des éléments {y) tels rpie les éléments (£) correspondants dans Z en vertu de toutes les réciprocités du réseau aient ru commun un même élément (z) dont le lieu est g3; la relation entre < n et (z) est d'ailleurs fournie par les équations
"i.n «1 — l>\r «z;-- ciy3zî = o,
ci}'i ^3+ °iy-2 «* H- b-if^Z-i = O,
/';.'■, z2 ■+■ c3yt Z\ — a3y3 z3 = o.
Les séries g2 et g-3 sont ainsi définies indépendamment de l'espace X. Comme d'ailleurs ce sont des séries cubiques générales, on a, de cette façon, une génération intéressante de la série cubique.
328. Les séries cubiques gt, gz, g3 sont réduites en même temps à la forme canonique. Leurs invariants proprement dits sont les mêmes et on! pour valeurs, avec les notations du Chapitre précédent,
J = " ï^k {st,~ ^°psZ- m*p% »•
Ce sont deux invariants proprement dits pour/, respectivement
du douzième et du clix-liui tième degré par rapport aux coefficients.
Les autres invariants des séries g , . <-,. g3 sont faciles à calculer.
329. Si l'on considère la réciprocité entre Y et Z qui corres-
