CHAPITRE XIV. — LA SÉRIE QUARTIQUE. 36l

qui précède, contiendront les seize autres éléments bitangents à f\ soient 't]f\' , 88', xx', XX' les couples qui correspondent à ajii' et a' (3; piu', vv', £ç\ tV ceux qui correspondent à a(3 et x'[j'.

Envisageons maintenant le système déterminé par ay' et a'y; chacun des quatre antres couples de ce système contiendra un des éléments y,, t/, 8, 0', x, x', X, V et un des éléments [à, a', v, v', £, ç', — , tz', sans quoi il y aurait absurdité; nous supposerons que ces couples soient -/jjji, 8v, x£, Xtc.

Pour préciser davantage, supposons que r\ soit .r, ^o, et que ses éléments de contact avec f soient £2~o et £3=o. aa', fi[3', yy' étant des couples d'un même système, l'équation de f est de la forme

«2 a2 a'2 -+- 62 p2 p'2 -+- c2 y"2 y'2 — 2 bc pp' •(■(' — ica yy' aa' — iab aa' pp' = o ;

écrivant que /' contient les éléments £2 = ° et ?s — °i on ;l d'abord

Ecrivant alors que tjyj' et yju. sont des couples d'éléments bitangents des systèmes a (3', a' [3 et ay', a'y, on trouve sans peine les conditions

*2 <*'t p2 P':i YiYa , a3 a'2 "" p3p'2 " Y3Ï2

On en conclut que rj est aussi un des éléments bitangents qui appartiennent au système f3y', [S'y.

Alors on voit que les autres couples des systèmes ay et a'y', py et (3'y, Py et fi'y' sont respectivement r/a', 8'v', x'£', XV; 7]}*', 8v', x£', Xtc'; Va, 0'v, x'Ç, XV

Si enfin on suppose, comme on peut le faire, que les couples tjv , ■yjij', tjtt' appartiennent respectivement aux systèmes déterminés par ao' et a'ô, as' et a'e, aÇ' et a'Ç, on dresse sans peine le Tableau suivant des couples d'éléments bitangents à/, répartis en soixantetrois systèmes, comme il a été dit précédemment :

aa , pp , yy , oo . ee , ç; ; ap'. a'p, 7)7)', 00', xx', XX':

ap, a'P', ,uu\ vv', $■', tctc';

aY'> a'Y> l^i 0v> *£> Xrc; ay, a y , rt [j. , 0 v , x ; , À iz ,