CHAPITRE XIV. — LA SÉIUE QUARTIQUE. i

correspondront des séries quudruplemenl tangentes à/, mais avec deux éléments de contact conibndus; ces éléments de contacl seront d'ailleurs les douze éléments communs à y et à j.

Les séries q et k ont six éléments communs; à ces six éléments correspondent six couples d'éléments (£) bitangents à /. Si l'on applique à ces couples les propositions générales connues, on verra, en particulier, que si (a) et (b), (c) et (cl) sont les éléments de contact de deux éléments bitangents d'un même couple, les six éléments (ab), (cd), (fle), (bel), (cul), (bc) appartiennent à y, et que les trois éléments [(ctb)(cd)\, [(«c)(6r/)], [(ad)(bc)] appartiennent ày'; que les huit éléments de contact des éléments bitangents de deux couples appartiennent à une même série F; et, puisqu'il y a six couples, il J a quinze telles séries F.

En appliquant les théorèmes de Pascal et de Brianchon à la suite formée par les éléments (y) qui correspondent aux couples d'éléments bitangents à / et à leurs groupes d'éléments de contact, on trouvera de nouvelles propriétés faciles à énoncer.

Si (a j x) et . (a'| x), ([i j x) et ((3'| x) forment deux couples d'éléments bitangents à/, et si/' est la série qui contient leurs éléments de contact, on peut écrire/ sous la forme

(a |aO(a'|aO(PI *)(?'! *)-/'2 = °-

340. Une série quartique admet, d'une façon générale, 28 éléments bitangents, qui forment par suite 378 couples. Chacun de ces couples détermine une façon de représenter / comme une enveloppe de séries quadratiques, et comme chacune de ces façons détermine elle-même six couples, on voit qu'il existe en tout 63 telles façons. Il existe, en d'autres termes, 63 systèmes de séries quadratiques quadruplement tangentes à/.

Si (a | x) et (a'| x), ($\x) el(p'| x) sont deux couples d'éléments bitangents appartenant à un même système, l'équation écrite cidessus montre que (cc|#) et ($\x): (a'|a;) et {$'\x) forment encore deux couples appartenant à un même système autre que le précédent, et qu'il en est de même de (o.\x) et ($'\x), (cr.'\x) et ($\x). On en conclut qu'il existe en tout 3i5 séries quadratiques contenant les huit éléments de contact de deux couples d'éléments bitangents.

36o LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

34-1. Désignons par a et a', (3 et 3'. y et y' trois couples d'éléments bitangents d'un même s\stème. et par les mêmes lettres, afin d'abréger les notations, les premiers membres

a! xt -+- au.fo — ^3^3, ...

de leurs équations. L'équation de^sera alors de la forme

a2a-2a'2+ &2p2p'2. ,.-■..-■.. ■, 26cpp'YY'— acaYY'a»'— 2aôaa'Pp'=o.

Soient ?i et y, un couple de deu\ éléments bitangents appartenant au système v/i', v/3, de sorte que l'équation de/' pourra encore s'écrire

a'2a«p'î &'*<x'îp* c'*t*1)'*

— a 6' c' a' Ptjt/— a c'a' T(Tj'ap'- aa'6'apVp o.

Les équations précédentes peuvent être mises sous la forme

(aaa! bffl ,■•;•;'•- \abata'ffî a'a.p fr'a'p- -e'v,' »' ia'ô'aa'pp' ...

et, par suite, on a identiquement

^(floa' 6pp'— cyy' v "/""*> 6'a'p — c't)V) o, ou bien

D'après cela, on voil que y el /,. par exemple, ne peuvent coïncider: car si cela était, l'équation de y sérail v. \ aa [3 \ A// o

mi bien %'\Jab $'\Ja'h ". el il <•->! é\idenl q ne ^ aurait un élément double, ce que nous ne supposons p;i^.

Ceci posé, on voil encore sur l'équation précédente que les éléments des âc[\\ couples (fr\) et (y'V)> (Y7/) el (y't<) appartiennent les uns à l'élément d'équation y. y aa (iJ\ A// o, et les autres à

celui d'équation v.\ a6' / \ db o : en d'autres termes, (a(3), (yr, ), ■ 'y, par exemple sont alignés, et il en est de même de (a' [3'),

342. Soient av.', p^', vy', SB', se', £Ç', les six couples d'éléments bitangents d'un même système.

Les systèmes déterminés par v.^j'eta' ^. v.j et v. j , d'après ce