III. — Les séries quartiques à éléments singuliers

343. Nous allons maintenant énumérer les diverses espèces de séries quartiques, et nous rechercherons de quelles façons on peut les considérer comme des enveloppes de séries quadratiques.

La série quartique générale, sans éléments singuliers, sera désignée par (A). Elle peut présenter les particularités suivantes : i° admettre un ou plusieurs éléments tangents ayant avec f quatre éléments communs confondus; un tel élément tangent compte pour un élément langent double, et pour deux éléments tangents stationnaires ; 2° admettre une ou plusieurs séries quadratiques quadruplement tangentes, dont les éléments de contact sont confondus deux à deux; ou dont trois éléments de contact sont confondus ; ou dont les quatre éléments de contact sont confondus.

Les réseaux F qui correspondent à une série quartique générale sont de l'une des espèces (a), (b), (c) ou (d) du n° 333, puisque sans cela y aurait un élément double.

D'une façon générale, si l'on considère l'un de ces réseaux, on notera les particularités suivantes : les séries q et k définies pré-

cédemment ont leurs six éléments communs distincts, la série q «'•tant indécomposable; si un élément (y), commun aux séries q et A-, est tel que l'élément tangent à q en (y) soit aussi tangent à k en un élément autre que (y), à (y) correspond un couple d'éléments bitangents, l'un de ces éléments ayant ses deux éléments de contact confondus; si l'élément tangent à q en (y) contient un élément double de /. \ à (y) correspond un couple d'éléments bitangents, tous deux à contacts confondus.

Si la série q touche en (y) un élément tangent stationnaire de k. à (y) correspond une série quadratique quadruple m en! tangente à/, avec trois éléments de contacl confondus; si la série q louche • ■il y ) un élément contenant un élément double de /. . à (y) correspond une série quadratique quadruplemenl tangente à/, aux éléments de contact confondus deux à deux: si la série q touche en (y) un élément tangenl à k en un élément double de k. à (y) correspond une série quadratique quadruplemenl tangente à /', aux quatre éléments de contacl confondus.

On peut ajouter que si un élémenl 7) commun à q et k esl inflexionnel pour /, -, à y 1 correspond un couple d'éléments bitangents à /', l'un de ces éléments étant inflexionnel pour y, l'autre tangenl à y et appartenant à y, de telle sorte que son élément de contacl avec j soil lancent à --.