CHAPITRE XIV. — LA SÉUIE QIIAHTIQI I'. i; I

gentes kf et contenant les trois éléments doubles de y"; les couples de ce système sont cor, aç, yx, yA, ï|s, y,Ç; le réseau correspondant esl de l'espèce (g), et les éléments communs à q cl /,• sont tous distincts; si q est conjuguée par rapport à la suile triple qui constitue A', les éléments inflexionnels de f sont confondus avec les éléments doubles.

350. Supposons que l'un des éléments doubles devienne cuspidal ; on obtient ainsi une quartique (II), de cinquième classe, à quatre éléments inflexionnels; il y a trois éléments bi tangents doublement singuliers comptant l'un quatre fois, et les deux autres six fois; quatre éléments bitangents singuliers dont deux comptent trois fois, et les deux autres deux fois; enfin deux éléments bitangents proprement dits. On passe du cas précédent à celui-ci en supposant que y et £, r, et A, v et tc, v' et ; coïncident respectivement.

On obtient, outre cinq systèmes qui disparaissent :

i° Un système de séries quadratiques quadruplement tangentes à /", dont les couples d'éléments bitangents sont aa deux fois, çiz trois (ois, et [au/j le réseau correspondant est de l'espèce (6) ou (c); la série q contient un élément double de k, et trois des autres éléments communs à q et k sont confondus-,

i° Quatre systèmes de séries quadratiques triplement tangentes à f et contenant un élément double; ces systèmes comptent deux fois; l'un d'eux, par exemple, contient les couples as deux fois, 7]ç trois fois, xa; le réseau correspondant est de l'espèce (e) ou (/i); les éléments communs à q et k sont répartis en trois groupes de un, deux et trois éléments; q ne contient pas l'élément double de k;

3° Un système, comptant trois fois, de séries quadratiques triplement tangentes à/' et contenant l'élément cuspidal ; les couples de ce système sont ys, 7]X, ç~ chacun trois fois; le réseau correspondant est de l'espèce (<?); la série q contient l'élément double de k, et est simplement tangente à k en deux autres éléments distincts;

4" Deux systèmes comptant trois fois, et analogues au précédent; les couples d'un de ces systèmes sont yy deux fois, ïjx deux fois, £[/., 7tul'; le réseau correspondant est de l'espèce (A) ; la séries/

contient l'élément double de k, et est simplement tangente à /, une fois ;

5° Un système, comptant quatre fois, de séries quadratiques doublement tangentes à /. et contenant les deux éléments doubles; les couples de ce système sont y/, trois fois, ex, stjx, y.y.' ; le réseau correspondant est de l'espèce (/) ou (y); la série q est osculatrice à la série quadratique qui fait partie de /.-, sans contenir un élément donlilc de /, :

(V' Quatre systèmes, comptant chacun >i\ fois, de séries quadratiques doublement tangentes à f et contenant l'élément cuspidal et un élément double; les couples d'un tel système seront, par exemple, xv deux fois, r- deux lui-. /.;. /y.; le réseau correspondant esl de l'espèce (/)', la série y touche la série quadratique qui fait paille de /.'. et contient un élément double «le /> :

-" l 11 système, comptant douze fois, de série- quadratiques tangente- à /', et cou tenant les trois éléments doubles ; les couples de ce système sonl y/, deux fois, yx, rçe, xç, -/-: le réseau correspondant e-t de l'espèce (g)] la série q contienl un élément double de /. .

351. Si un second élément double devient cuspidal, la série /'. alors d'espèce I . esl de quatrième classe, avec deux éléments ioflexionnels; il \ a trois éléments bitangents doublement singuliers dont l'un compte neuf fois, el les deux autres sis fois; deux élément- bitangents singuliers comptant trois fois; enfin, un seul élément bitangenl proprement dit.

On passe du ca> précédent à celui-ci en faisant coïncider 7. et :. -/j el -, x et [).' \ et l'on obtient, outre sept systèmes qui disparaissent :

i° Un système, c ptanl deux fois, de séries quadratiques triplement tangentes à / et contenant l'élément double; les couples de ce système sont ax el y; trois fois; le réseau correspondant esl de l'espèce (e) ou (/<); la série q a ses éléments communs avec k confondus trois par trois;

20 Deux systèmes, comptant trois, fois, de séries quadratiques triplement tangentes à /, el contenant un élément cuspidal; les couples d'un des systèmes sont oca deux fois, /,; Iroi- fois, et xix; le réseau correspondant esl de l'espèce (h); la série q contient