CHAPITRE XIV. — LA SÉRIE QUARTIQUE. 3 (JQ

l'espèce (/); la série q est assujettie simplement à contenir un élément double de k ; les autres éléments communs à q et k forment deux groupes distincts, faciles à interpréter.

3i8. Si la série quartique (F) a deux éléments cuspidaux, elle est de sixième classe et n'a cpie huit éléments inflexionnels; elle admet un élément bitangent doublement singulier comptant neuf fois, deux groupes de trois éléments bitangents singuliers comptant trois fois et un seul élément bitangent proprement dit. On passera du cas précédent à celui-ci en supposant que a et u, o et Q, z et x, Ç et X coïncident respectivement. On trouve alors, outre six systèmes qui disparaissent :

iu Trois systèmes de séries quadratiques qtiadruplement tangentes à f; les couples d'éléments bitangents contenus dans un système sont, par exemple, 8x trois fois et v£ trois fois; le réseau correspondant est de l'espèce (a) ou (b) ; la série q a ses éléments communs avec k confondus trois par trois et ne contient pas d'élément double de k ;

2° Six systèmes, comptant chacun trois fois, de séries quadratiques triplement tangentes à y* et contenant : celles de trois d'entre eux, un élément cuspidal de /; celles des trois autres, l'autre élément cuspidal de/; les couples d'un système sont, par exemple, aB trois fois, \- deux fois, yv; le réseau correspondant est de l'espèce (e); la série q contient l'élément double de k, et trois des autres éléments communs à q et à k sont confondus;

3° Trois systèmes, comptant chacun neuf fois, de séries quadratiques doublement tangentes à f et contenant les deux éléments cuspidaux; les couples d'un système sont, par exemple, y.h deux fois, av deux fois, xti et A;; le réseau correspondant est de l'espèce (/) et la série q contient les deux éléments doubles de À- ;

4" Un système, comptant neuf fois, de séries quadratiques analogues aux précédentes; les couples de ce système sont aa deux fois, ay, 8v, x;, À-; le réseau correspondant est de l'espèce (y) et la série q contient l'élément double de /.'. •

349. Une série quartique (G), à trois éléments doubles ordinaires non alignés, est de la sixième classe et possède six éléments Ax. — I. 2 i

inilexionnels ; elle admet trois éléments bi tangents doublement singuliers, comptant chacun quatre fois, trois groupes de deux éléments bitangents singuliers, comptant chacun deux fois, et quatre éléments bitangents proprement dits.

On passe du cas général à celui-ci en supposant, par exemple, que les systèmes qui disparaissent, et qui correspondent aux trois éléments doubles, sont formés des couples aa, aa, vv, vv, $s, ÇÇ; 7.7.. aa, 7,7,. y,/,, xx, Xk; -;-;. yy, 7,7,, 7,7,, Çlj, --. a, v, u.', v' sont les éléments bitangents proprement dits. On obtient, outre les trois >\>lèmes qui disparaissent :

i° Un système de séries quadratiques quadruplement tangentes à y, contenant comme couples d'éléments bitangents z'C, deux fois, y.), deux fois et ç- deux fois; le réseau correspondant est de l'espèce («), (£), (c) ou (//); la série y rsl tangente trois fois à /, et ne contient aucun élément double de /.- : en outre, dans le cas («), la série q ne doit pas être, parmi les séries à triple contact pour /.•, une de celles qui correspondent à la série /dont /. est la hessienne, sans quoi les éléments doubles de y seraient alignés; dans le cas (rf),*on voit que les éléments inilexionnels de y sont confondus deux par deux avec les éléments doubles;

•" Trois systèmes analogues au précédent; les couples de l'un d'eux sont aa deux fois, z~ deux fois et ;j.;j.', vv' ; le réseau correspondant est de l'espèce (6), (c) ou (d); la série </ contient nn élément double de /«, et est encore simplement tangente à /. ;

3° Douze systèmes, comptant chacun deux fois, de séries triplement tangentes ày'et contenant l'un des éléments doubles de y: les couples d'un de ces systèmes sont, par exemple, ax deux fois. --; deux fois, efjt/, £/; le réseau correspondant est de l'espèce (e) ou (h); la série q est doublement tangente à /,• et ne contient pas l'élément double de /. ;

4° Six systèmes, comptant chacun quatre fois, de séries quadratiques doublement tangentes à y et contenant deux des éléments doubles de f; les couples d'un de ces systèmes sont, par exemple, ay deux fois, x;, )-, 7^., 7,v; le réseau correspondant est de l'espèce (f) ou (y); la série q touche simplement la série quadratique qui fait partie de k et ne contient pas d'élément double de k ;

5° Un système, comptant huit fois, de séries quadratiques tan-