CHAPITRE XIV. — LA SÉRIE QVAUTIQUE. 3y

i° Trois systèmes de séries quadratiques quadruplement langentes à /'; l'un d'eux contient les couples aa deux fois, ££ deux fois, p.;j.' et vv'; le réseau correspondant est de l'espèce (c) ou (c/); la série q contient deux éléments doubles de k;

2° Douze systèmes, comptant chacun quatre fois, de séries doublement tangentes à f, et contenant deux éléments doubles de f\ les couples de l'un des systèmes sont av deux fois, x£ deux fois, /•^j., TjV ; le réseau correspondant est de l'espèce (/) ou (j)', la série q est doublement tangente à la série quadratique qui fait, partie de /.".

3oo. Une série quartique composée d'une série cubique à élément double et d'une série linéaire, a quatre éléments doubles dont trois sont alignés; elle est de l'espèce (M). Elle a un élément bitangent triplement singulier comptant quatre fois, trois éléments bitangents doublement singuliers comptant quatre fois, et six éléments bitangents singuliers comptant deux fois. On passe du cas (G) à celui-ci en faisant coïncider £ et tt, ij. et |j.', v et v'.

Outre quatre systèmes qui disparaissent, il existe :

i° Trois systèmes de séries quadratiques quadruplement tangentes à /"; l'un d'eux contient les couples yy, xX, u.v, chacun deux fois; le réseau correspondant est de l'espèce (6), et la série q, doublement tangente à À", contient en outre l'élément double de À";

2° Quatre systèmes, comptant chacun deux fois, de séries quadratiques triplement tangentes à y et contenant l'élément double de la série cubique qui fait partie de f; les couples de l'un de ces systèmes sont ye, rtx, y,),, chacun deux fois; le réseau correspondant est de l'espèce (e), et la série q est trois fois tangente à k;

3° Six systèmes, comptant chacun quatre fois, de séries quadratiques doublement tangentes à f, et contenant deux des éléments doubles alignés de f\ les couples de l'un de ces systèmes sont aô deux fois, r,ç deux fois, x;jl, Xv; le réseau correspondant est de l'espèce (/) ou (/), la série q étant tangente à la fois à la série quadratique et à la série linéaire qui constituent k\

4° Trois systèmes, comptant chacun huit fois, de séries quadratiques tangentes à /, contenant l'élément double de la série cubique qui fait partie de/, et deux des éléments doubles alignés de /; les couples d'un de ces systèmes sont ay deux fois, y,[jl, tjv,

y.;, X£; le réseau correspondant est de l'espèce (g), la série q étant

tangente à k.

356. On obtiendra l'espèce (N) en supposant que la série cubique du numéro précédent a un élément cuspidal; alors / a un élément bitangent triplement singulier, comptant quatre fois; trois éléments bitangents doublement singuliers comptant six fois, et trois éléments bitangents singuliers comptant deux fois. On passe du cas (II) à celui-ci en faisant coïncider \ et -, ;j. et u.'.

On a, outre sis systèmes qui disparaissent :

i° Trois systèmes, comptant trois t'ois, de séries quadratiques triplement tangentes à /'. el contenant L'élément cuspidal; les couples de l'un d'eux sont yv, r,x, ;;/. chacun deux fois; le réseau correspond, mi es! de l'espèce (h . la série q contenant l'élément double de k el étant doublement tangente à /,':

2 ' Trois systèmes, comptant quatre fois, de séries quadratiques doublement tangentes à /, et contenant deux éléments doubles de/; les couples de l'un d'eux sont xe deux fois, r\% trois fois, xp. ; le réseau correspondant est de l'espèce (/) ou (y), la série q étant osculatrice à la série quadratique qui fait partie de k, et tangente à la série linéaire qui complète /. :

3° Trois systèmes, comptant douze fois, de séries quadratiques tangentes à / et contenant, outre l'élément cuspidal, deux éléments doubles; les couples de l'un de ces systèmes sont ay deux fois, tjÇ deux fois, y,;;.. /.; ; le réseau correspondant est de l'espèce {g)\ la série q contient un élément double de k et est tangente à k.

357. Une série quartique de l'espèce (O), à cinq éléments doubles, se compose d'une série quadratique et de deux séries linéaires; elle admet deux éléments bitangents triplement singuliers, quatre doublement singuliers et deux singuliers, chacun d'eux comptant quatre fois, sauf les deux derniers qui ne comptent que deux fois. On déduit ce cas du cas (L) en faisant coïncider y. et u.', v et y'.

On trouve, outre les cinq systèmes qui disparaissent, et celui, comptant huit fois, qui ne correspond pas à un réseau déterminé :

i° Deux systèmes de séries quadratiques quadruplement tan-