CHAPITRE XIV. — LA SÉRIE QUARTIQUE. I-J

génies à f] les couples d'un des systèmes sont yy, •/./., uv deux fois; le réseau correspondant est de l'espèce (c), la série q contenant les éléments doubles de k et étant tangente à /.• ;

■2° Quatre systèmes, comptant quatre fois, de séries quadratiques doublement tangentes à f et contenant deux éléments doubles de /', communs à la série quadratique et à Tune des séries linéaires qui forment/"; les couples de l'un d'eux sont ye deux fois, r(x deux fois, £u. deux fois; le réseau correspondant est de l'espèce (/), la série q étant trois fois tangente à k.

3° Quatre systèmes, comptant huit fois, de séries quadratiques tangentes à/' et contenant trois éléments doubles non alignés, n'appartenant pas ensemble à la série quadratique qui figure dans /'; les couples de l'un de ces systèmes sont ay deux fois, x; deux fois, yjp., r,v; le réseau correspondant est de l'espèce {g), la série q étant doublement tangente à k.

358. La dernière espèce générale (P) de séries quartiques comprend celles qui sont composées de quatre séries linéaires et, par suite, à six éléments doubles; elles admettent quatre éléments bitangents triplement singuliers et trois doublement singuliers; chacun d'eux compte quatre fois. On passe du cas précédent à celui-ci en supposant, l'identité de p. et y.

On trouve, outre six systèmes qui disparaissent et trois systèmes comptant huit fois, auxquels ne correspondent pas de réseaux déterminés :

i° Un système de séries quadratiques quadruplement tangentes à/*, contenant les couples ss, rfri, [j.u, chacun deux fois; le réseau correspondant est de l'espèce (d) et la série q contient les trois éléments doubles de /. ;

2° Quatre systèmes, comptant huit fois, de séries quadratiques tangentes à /"et contenant trois éléments doubles non alignés; les couples d'un des systèmes sont ay, x£, 7]U, deux fois chacun; le réseau correspondant est de l'espèce {g), et la série q est Irois fois tangente à /.-.

359. Nous avons examiné tous les cas dans lesquels la série quartique/a des éléments doubles ordinaires ou cuspidaux comme seules singularités. Mais elle peut encore posséder des singularités

d'un ordre plus élevé que nous allons passer en. revue, en nous bornant toutefois aux cas où la série/ est indécomposable : l'étude des autres cas sera en eflet rendue très facile par ce que nous allons dire.

Si une série quartique indécomposable a un clément double à éléments tangents confondus, et si cet élément n'est pas simplement cuspidal, on peut, en choisissant convenablement les coordonnées, écrire son équation sous la forme

-1- X\ -+- dx\ X3 -+- ex\x\ —J.r,.r\ h.r\=0\

1rs éléments (!j) contenant L'élément singulier O,, cl tangents à/ en un élément autre que Oi: <>nt pour équation

© = Ci — «2)r2 + {d — '->•"/' l ' j ''

^-(c — 6* — iac)x\x\ -+-(/— ibc)XiXl- (A -c*)x\ = o.

Ce sont les particularités de cette équation qui nous fourniront les divers cas particuliers possibles où la série / a un élément double qui n'est ni ordinaire ni cuspidal.

Remarquons tout d'abord que le premier membre de cette équation ne peut être un carré parfait sans (pie la série / se décompose, puisque son équation prendrait alors la forme

i XxX3-\- ax\ ■+- bxtxz-\ cx\ lï-t-^2= ",

g étant une forme quadratique en ./•, et 'V Nous avons les espèces suivantes :

A'. L'équation 8 = 0, où l'inconnue est ' > n'a |)as de racine

nulle, et ses racines sont distinctes.

Alors, on vérifie sans peine les résultats suivants : la série/n'a pas d'autre élément singulier que O,, est de la huitième classe, admet douze éléments indexionnels dont aucun ne peut coïncider avec O, (et il en est de même dans les cas suivants), cl enfin admet six éléments bilangents proprement dits; les quatre éléments tangents à/ contenant Oj sont éléments bitangents singuliers comptant quatre fois; l'élément tangent à / en O, est bilangent singulier spécial, comptant six fois.

B'. L'équation (-) = o n'a pas de racine nulle et admet une racine double.