CHAPITRE XIV. — LA SÉRIE QUARTIQUE. 3g

367. Etudions maintenant la série quartique rationnelley définie par des formules de la forme

?Xi = fi(lu X2),

les fi étant des formes quartiques binaires par rapport aux (À), qui n'ont pas de racine commune.

Ceci revient aussi à l'élude de la forme

g = Çi/i (*ij X2 ) + £2/2 (Xlf X,) -+- h/a (Xi , X2 ). Nous ferons

/1 = «oM-f- 4«iXf X2-t- 6a2Xf X|-+- 4a3XiX|-i- a^\\, f% = b0l\ + 4 ôtX? X,4- 66, Àf X|H- 463X1XI + 64X*, /■= coXJ-r- 4dXfX2+ 6c2XfX|-i- 4c3XtXl+ etX*.

Les coordonnées d'un élément tangent à f s'expriment sans peine à l'aide des (1).

L'invariant multiple fondamental est celui dont les racines correspondent aux éléments inflexionnels de f; soit

nous avons ainsi une forme sextique que nous ne supposerons pas identiquement nulle, de sorte que f n'est pas une série linéaire.

368. Cherchons la condition pour que trois éléments (),), (pi), (v) de y soient alignés; si l'on fait

/Iia1v1=/>, 2X2p.1v1=gr, SX1[X2v2=/', on trouve sans peine la condition

— 4 ci

Si l'on fait les (y.) et les (v) égaux aux (X), on retrouve l'équation h = o ; si l'on fait les (v) égaux aux ().), la relation précédente est une équation du second degré en (pi); en écrivant que ses

racines sont égales, on obtiendra une équation pour déterminer les éléments de contact des éléments bilangents à/'.

Si (X) et (pi.) sont des paramètres qui correspondent à un élément double ou triple de/, considéré comme réunion de deux ou trois éléments ordinaires, les éléments (1), (a), (v) sont alignés quel que soit (v). Donc, pour déterminer les éléments doubles, on écrira (pie les coefficients de vj, v,v2 cl vij sont nuls dans la relation précédemment trouvée. On obtiendra ainsi trois relations quadratiques entre / = A,;j.,, // = ),, u.2 -h A? u-i , V = X2jx2; alors on pourra déterminer ces quantités facilement; si l'on veut avoir une équation pour déterminer les (à), on éliminera linéairement /-, u2, v-, uv, vt, tu entre les trois équations précédentes et celles que l'on obtient en multipliant le premier membre de la relation

v A \ — mXiXs-h/X! = o

respectivement par /. //. v.

Si l'on élimine linéairement les mêmes quantités entre les trois mêmes premières équations et celles que l'on obtient en multipliant le premier membre de la relation

OL\t •+- Ot^U-h OC3P = o

respectivement par /, u, v, on obtiendra une équation dont le premier membre sera une forme cubique par rapport au v (a) décomposable en trois facteurs linéaires; si dans ebacun de ces facteurs on remplace a,, a2) a3 respectivement par X*, — A, X2, a;, on obtiendra trois équations du second degré, et les racines de chacune d'elles correspondent à un élément multiple de/.

La discussion des différents cas qui peuvent se présenter est facile à faire; voici les résultats obtenus : pour les espèces (G), (H), (I), (J), les trois équations du second degré qui correspondent aux éléments doubles n'ont pas, deux à deux, de racines communes; si l'une d'elles a une racine double, il lui correspond un élément cuspidal; dans les cas (B') et (C), deux des équations dont nous venons de parler ont les mêmes racines distinctes; la troisième a deux racines distinctes ou confondues, différentes des précédentes; dans les cas (E') et (F'), deux des équations précédentes ont les mêmes racines confondues; la troisième a deux racines distinctes ou confondues. Dans les cas (G') et (H'), les