V. — La série quartique rationnelle

365. Les séries quartiques rationnelles sont des espèces (G), (H), (I), (J), (B'), (C), (E'), (F), (G'), (H'), (I'), (J'), (K').

La plus générale est celle d'espèce (G) à trois éléments doubles; si ceux-ci sont pris pour éléments fondamentaux, on peut écrire l'équation de la série/:

f = a'\0c\x\->r atxlx\-\- a%x\x\

-+- ibix\ a?2^3+ ib2Xix\x3-\- ibzx{x.2x'l =o;

les éléments tangents en O,, 02, 03 ont pour équations

a3xl-\- ■xbix-2x3~{- 0^x1 = 0, ...;

ils appartiennent à la série quadratique

ai£î + a,Ç« -h a,H — aftiÇiÊ$—a&«Ê»£i — aésÇi £* = <>;

de même les éléments tels que ceux qui sont déterminés par O, et les éléments tangents à /en O,, appartiennent à une même série quadratique. On démontrera les mêmes théorèmes pour les six éléments tangents à /contenant O,, ou 02, ou 03.

Nous laisserons le soin d'étudier les modifications que subissent ces propositions dans les divers cas particuliers, et de calculer explicitement les différents éléments particuliers de la série /, quand elle est rationnelle, en se servant de l'équation ci-dessus.

Les propositions générales fourniront de nouveaux énoncés particuliers; ainsi dans le cas (I), la série / se transforme en

3g2 LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

elle-même par une homologie involutive : si donc O et Q déterminent cette involution, les deux éléments cuspidaux de / sont alignés avec O, tandis que les éléments tangents en ces éléments cuspidaux sont alignés avec Q; la même chose a lieu pour les deux éléments inflexionnels de/; l'élément double de /appartient à Q, et son élément tangent double à O.

366. Quand la série quartique est rationnelle sans avoir un élément triple, on peut l'étudier comme résultant d'une série quadratique par une correspondance quadratique Irrationnelle, en particulier par une inversion.

Supposons la série quartique /de l'espèce la plus générale (G) ; une infinité d'inversions générales lui font correspondre une série quadratique quelconque ; il suffit de définir l'inversion par O, par exemple, et une série quadratique tangente en 02 et 03 à li3 et Q2; les éléments bitangents ou tangents stationnaires de la série quartique correspondent aux séries quadratiques contenant O,, 02 el 03, qui sont bitangentes ou osculatrices à la série quadratique qui correspond à/.

Si l'un des éléments doubles de /devient cuspidal, la série quadratique correspondante devient tangente à l'un des éléments fondamentaux Q,, Q2 (HI Û3.

Si la série /est de l'espèce (B'), de façon que O, soit l'élément double ordinaire, et 03 l'élément singulier spécial, on fera correspondre à/ une série quadratique en employant une inversion singulière définie par O, et une série quadratique décomposable d'élément double 03, telle que la polaire de O, par rapport à cette série soit l'élément tangent à/en 03, soit Q, .

Si cette série touche Q,, l'élément double O, de / devient cuspidal; si elle touche Q2, l'élément singulier spécial change de nature : on obtient l'espèce (E') ou (F').

Enfin, si la série / est de l'espèce (G'), de sorte que O, soit l'élément singulier avec û2 comme élément tangent, on lui fera correspondre une série quadratique en employant une inversion singulière définie par Ox et une série quadratique tangente à ii, en O,, et même osculatrice en O, à une série quadratique fixe facile à déterminer; si f est de l'espèce (H'), cette série touche Qo.

Il =