CHAPITRE XV. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE GÉNÉRALE
ceux qui correspondent aux hypothèses i -+- oj = o, i — 3io = o. Dans le cas général, à la racine to de l'équation en p correspond un élément double (x) défini par les relations
tot 0J2 (Uj co2
et un élément double (£), normal à (#),
nous appellerons ces deux éléments O et Q.
Il est clair alors que les autres éléments doubles sont les éléments communs à F et 0, ou bien à $ et O. On remarquera d'ailleurs que les éléments de F ou <I> sont soumis par la transformation a- à une transformation homographique, et les éléments doubles de ces deux homographies sont ceux que nous venons de trouver.
D'après une proposition connue, si (x) et (x') sont deux éléments correspondants, la distance (Ox)(Ox!) aura une valeur constante, qui sera la grandeur du mouvement; si (ç) et (£') sont
de même deux éléments correspondants, la distance (Qç)(Oç') aura la même valeur constante, u. étant remplacé par m. En orientant de façon correspondante les éléments (Ox) et (Ox!), qui sont correspondants, on trouve
(Ox)(Ox') i—(û . (Ox)(Ox') i/(o)-m')(3(d — i)
cos ; = > sm —. = ;
2 l |JL 1 W 1l[X 1<Ji
la dernière formule contient un radical dont la détermination correspond à l'orientation de O ; la première donne la signification de i — co = o.
De plus, les distances Ox et Ox' sont évidemment égales, et
de même les distances Oç et Q£'; comme le lieu de (x), quand O^ est donnée, est manifestement une série quadratique, bitangente d'ailleurs à F aux deux éléments doubles du mouvement autres que O, la remarque faite plus haut sur la condition y3 — di3= o devient évidente. Ajoutons qu'une telle série quadratique ne change pas par la substitution tr3 comme l'absolu.
On peut, s'il est nécessaire, simplifier l'étude d'un mouve-
ment en supposant que O soit l'élément fondamental 0,; alors (o2 = co', = o. On a
xx = wiio'j.r',, a?s= tofic',, ;r3 = o/22 a-', ,
10 = (Dj 0)'2 , ('=(1)1(0,- (i) J -i- co',2 ,
(Oa?)(0.r'i of-t-to? . (Oï)(0/ ((02 to'.,2) ^ — t
COS ; = f-y Sin = ! l .
2',-t 2to,io2 '2/;a 2(DiU)'j
Examinons maintenant les cas particuliers.
Si i — 3to = o, la racine to de l'équation en p est triple, et il ne lui correspond qu'un élément double de chaque espèce. Ce cas est limite du précédent; O appartient à F et Q est langent à F en O. Deux éléments correspondants (x) et (x') appartiennent à une même série quadratique surosculatrice à F en O, qui ne change pas par la substitution t.
Enfin, si i -f- w = o, la racine u> est simple pour l'équation en p il fournit, comme précédemment, deux éléments doubles normaux O et il. qui ne se contiennent pas; l'équation en p a en outre une racine double — u>, à laquelle correspondent tous les éléments de Û et de O comme éléments doubles; l'homographie 7 est donc ici une homologie involulive. On a
(Qx){Qx')~ii\i- (motl i /;*-);
les formules simples données dans le cas général subsistent avec l'hypothèse oj, ~ tù'2= o.
Toutes les propriétés générales des homographies s'appliqueront aux mouvements, sans qu'il soit nécessaire d'insister.
380. Les mouvements forment évidemment un groupe. Si deux mouvements successifs ont pour paramètres to,, w2, co', , o>!, comme précédemment, et, avec le même sens, fj,, 82, B'n f^> le mouvement résultant aura pour paramètres correspondants
d'ailleurs
Qi = (o, 6, -+- ci)', 6j, û', = u), 8 \ -+- w', <)', . 9.2 = o, 6, -4- w'g 82) Û'2 = (o, 0', — u>', 9'j ;
iîi 04 o2 oj = (0Jl o>2 — (o, oj; )(0, o, — e, o; ).
Ces formules, qui donnent la loi de composition des mouve-
