CHAPITRE XV. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE GÉNÉRALE. f\Cy

Les substitutions a- cherchées sont donc de la forme

en = (o>i to'2 -4- Lù2to'1)x\ -+- 2u>1<j)2a72-t- 2W| tartT3, cr-2 = Wj to'j a?'j -+- w2 a?'2 -+- oj't2 a73 ,

et, en faisant w, to'2 — (jo2 w', = w, on a (X|j.v) = to3, tandis que les rapports tels que rr- sont égaux à w2. Inversement, on a

U>2 372 = H>1 Cl/2 37t -H w'j2 fl?2 + w? %i )

Si F était donnée sons la forme la plus générale, on chercherait d'abord une substitution

xi = XiiXt-f- X i2X2 -4- X 13 X3,

SV-2 = X21 Xi -+- X02X0 -t- X23X3, 373= X3iXi-t-X32Xo-4- À 33X3,

qui mette F sous la forme X; — 4X2X3, à un facteur près; appliquant alors aux (X) l'une des substitutions a- précédemment définies et supposant que les formules précédentes donnent

8X1 = \t-llXl-T- \xïlX2 -+• f*31 x3i

o étant le déterminant des coefficients (X), on trouvera

8a?/ = 2 Xj j [J'y, [lu ( 0)1 a>'2 -+- Lu, w'[ ) -4- X/2 tt>t û)', ■+- X/3 W2 0>2 ]

-4- (£yg[2Xa(*>l w2 -+- X/jCdf -4- X,-3to| ] -4- [Xy3 [ 2 X;1 U^ U)2 -4- A /2 W? -+■ hs W22 1 } •

Si, par exemple, on a

F = a72-Ha?2+a7|, on fera

37 1 = Xj,

372 = ÎXj — 1X3,

xa = X2 — X3, d'où

2 j'Xi = 'lïXy,

2tX2= — a72-4- ixi, 2j'X3= — Xi — j'373,

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et l'on obtiendra des formules semblables à celles connues sous le nom d'Olinde Rodrigues.

379. Les substitutions n que nous venons de déterminer sont des mouvements. Si (x) et (x') sont correspondants, on a

Fx*= cu2Fx^;

on peut donc considérer (x') comme orienté en se donnant la détermination yFX'>, et, par suite, (x) comme orienté, en faisant y/FX2= ± io y/Fx-., le signe étant toujours le même ; de même, on a, si (;) et (£') sont correspondants, Q>i'- = to2$çi et Ton peut considérer (;) et (£') comme orientés simultanément, en faisant y/<I>f'5— ± t.) y/^^, le signe étant le même que plus haut. De même

enfin, la quantité y/Fxi4>^ — D(.c|ç)2 peut être considérée comme ne changeant pas de valeur après la substitution <r. Ces conventions faites, et nous les conserverons par la suite, on voit que la distance de deux éléments quelconques est toujours égale à celle des deux éléments qui leur correspondent, et cette propriété justifie le nom de mouvement donné plus haut aux transformations ? qui nous occupent.

Un mouvemenl est une homographie dont les invariants sont, avec les notations du n" 206,

l = a>i a/2 -+- io2 dj', -(- (o'j -f- to'j* , / = (.<) i, il = oj3,

et, par suite, vérifient la relation

Ces formules sont d'ailleurs valables quelle que soit la forme F. La condition y'3 — di3=o exprime, comme l'on sait, que si la transformation <r fait correspondre (xll>) à (a?), (x(2)) à (x^l)), . . . , les six éléments (x), (^(0), (xi2}), (•£(3)), (x(i)), (x{'a)) appartiennent à une même série quadratique, qui contient aussi par suite tous les éléments (xln)).

L'équation en p se décompose en

et

a) n étant pas nul, on n'a comme cas particuliers possibles que