III. — Les cercles

384. Les formules de la Géométrie métrique ternaire générale permettent de retrouver facilement tous les théorèmes de Géo-

m é trie sphérique élémentaire. Nous ne ferons pas celte étude, et nous développerons simplement quelques points particuliers d'une importance capitale.

Considérons une série [quadratique de première espèce bitangente à l'absolu, de sorte que son équation pourra s'écrire

(xt^!— ajO?j-f- a3.r3)2-i- af F.c> = o.

Nous pouvons dédoubler tout d'abord, en quelque sorte, cette série en deux autres orientées, puisque son équation nous permet d'exprimer y — Fx> en fonction rationnelle des coordonnées (x)

et que l'on a \— F.t-- = i\ Fa-*. : ces deux séries seront donc composées d'éléments orientés, et leurs éléments sont les mêmes, mais orientés en sens différent. Une telle série orientée sera donc

a\Xi-+- «ta?j-4- 23 r3 — a; /— F.t2 = o;

nous dirons que c'est une série circulaire de première espèce, ou simplement un cercle; l'équation générale des cercles contient d'une façon linéaire cl homogène quatre paramètres a,, a2, a3, a4 ; le cercle correspondant à un système de valeurs de ces paramètres sera désigné par Ca ainsi (pie le premier membre de son équation, et ses coordonnées seront les (a).

Les séries linéaires sont des cercles particuliers pour lesquels a4 = o; l'absolu est aussi un cercle particulier.

Le discriminant du cercle Ca est celui de la forme quadratique

(ilaO'+aJF*.,

que nous écrivons en considérant a,, a.,, y.3 comme des coordonnées ordinaires de seconde espèce; sa valeur est oc*($a« + Da^).

Le facteur <ï>aî+Da^ est une forme quadratique contenant les quatre variables (a), et que nous désignerons par IV-; quand cette forme s'annule sans que a4 soil nul, le cercle se compose de deux éléments tangents à l'absolu, à éléments orientés.

Si de plus ot4 est nul, ces deux éléments coïncident.

385. La série tangenlielle de (a \x)~ -+- a^Fx--= o est, après

suppression du facteur — =r-±,

*aÇ— ra>#£. = o; on peut comme précédemment dédoubler, ou orienter, cette