CHAPITRE XV. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE GÉNÉRALE

seront orthogonaux à un même cercle C3 facile à déterminer. Ce réseau contiendra en particulier un faisceau de séries linéaires, auxquelles appartiendra le centre de Cg, qui est par suite l'élément commun à tous les éléments tels que Csy, obtenus en combinant deux à deux les cercles du réseau. Le réseau contiendra aussi une infinité simple de cercles de rayon nul, et le lieu de leurs centres sera évidemment C5.

391. Deux cercles Ca et Cs déterminent un faisceau de cercles

Xi Cx ■+- X2Cs = o,

qui ont tous en commun les deux mêmes éléments. Tous ces cercles sont évidemment orthogonaux à tous les cercles d'un second faisceau conjugué du premier; le premier faisceau contient une série linéaire Cas, lieu des centres de tous les cercles du second faisceau. Il contient aussi deux cercles de rayon nul dont les centres appartiennent à (ab), et sont communs à tous les cercles du second faisceau; ces deux centres sont conjugués harmoniques par rapport aux centres de Ca et C3, si ces deux cercles sont orthogonaux.

On peut multiplier, pour ainsi dire, indéfiniment ces propriétés des cercles.

392. Considérons trois cercles C3, Cy, Ce, et cherchons le lieu des éléments (a) relatifs aux cercles Ca pour lesquels on a, en supposant dans tout ce qui suivra, pour simplifier l'écriture, 2 i m = 2 i ix — 1 ,

cosCaGs cosGaGy cosGaGg

X, p., v étant des constantes données.

Si p est la valeur commune des rapports précédents, on a

*a3 -+- D <x4 p\ -+- pX /— IV /— !■> = o,

et deux équations analogues.

Le lieu cherché est donc l'élément linéaire

*aS

Xv/-

*aY

pV-

<ïv:

Cette série linéaire contient un élément linéaire fixe, quels que soient )*, a, v, déterminé par

'l'a? *oy *aS

déjà considéré précédemment.

Tous les cercles répondant à la question forment un faisceau, puisqu'ils vérifient les relations

Si C£ est un cercle du réseau (Cp, Cr, Cg), on a évidemment en

faisant

Cr = wj Gp-r- o>:>Cg-f- w3Cg.

cosC«C=

v/- "ly /=Ty /=ri>

tu, À -+- w2 u -4- w3 v ,

de sorte que tous les cercles C£ jouent le même rôle.

Si l'on se donnait un quatrième cercle quelconque Ce, et que l'on voulût déterminer Ca de façon que

cosCaCp cosGaCy cosCaCg cosCaC£

n étant une nouvelle constante, un seul cercle répondrait à la question.

Si l'on considère les cercles (a) tel que l'on ait simplement

cosCaCp cosCaCy

o étant arbitraire, on voit qu'ils forment un réseau; d'ailleurs comme plus haut

cosCaGg

y/-i> /-ry

•- r* v/- rga

siCgest un cercle du faisceau (Cp, CY) telqueCg = <o, Cp-f- to2Cp. Si p est donné, cosCaGg est donc constant; en particulier, il sera