CHAPITRE XV. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE GÉNÉRALE

égal à i pour deux valeurs de (wt, (o2), el l'on peut dire que si un cercle variable Ca est à une dislance constante de deux cercles Cg, Cy, il est aussi à une distance constante de tout cercle du faisceau (Cg, Cy) et, en particulier, il est tangent à deux cercles fixes de ce faisceau.

On pourra répéter les mêmes propositions relativement à des cycles.

393. Si l'on envisage deux systèmes de quatre éléments (a), (g), (y), (S) et (a), (fi'), (f), (8'), la multiplication des deux matrices

Pi

et

lJ2

Tt

*ïi

<Pv

donne, en faisant, comme plus haut, lim = ii\). = i,

cosaa' cosap' cosay' cosao'

cospa' cos[3f3' cos^y' cos^o'

cosya' cosyP' cosyY' cosyo'

cosoa' coso^' cosoy' cosoo'

Nous désignerons, pour abréger, le premier membre de celte

formule par | cosaa' 4.

Si, de même, on considère deux systèmes de n éléments (a), ((j), . . ., d'une part et (a'), ([3'), . .. , d'autre part, on aura, en adoptant une nolalion analogue,

|cosaa'|„ = o, pour n ^ 4 •

Envisageons maintenant deux systèmes de n cercles Ca, Cp, Cy, . . . , Ga-, Cp', Cy', . . . , dont les rayons seront ra, /"p, /y, . . . ,

En employant des notations analogues aux précédentes, et multipliant des matrices dont les premières lignes seront respectivement a,, a2, a3, a4, et <ï>a , $«;,> ®x3i Da'4, on trouvera d'abord pour «^5, la relation simple

|cosCaCa'|„ = o.

Si ft-<5, une opération analogue donnera, en multipliant ensemble des déterminants ou des matrices analogues aux matrices précédentes, mais dont le produit ne sera plus nul, la relation

suivante, où l'on a tenu compte de [cosaa'|, = o, et de l'identité de |<î>aa [3 avec le produit D2(ai3y)(a'l3'y') :

[cosaa |„ cos/a cos/-a 1

\cosGxC„\„ =

'et \n

sin/-asinrp . . . sin/-asinft' . . .

où la notation employée au numérateur du second membre désigne

le déterminant |cosaa'|w bordé par une dernière colonne formée de cos/*a, cos/'p, . . ., 1 et une dernière ligne formée de cos/v, cos /•<}•, . . . , 1 .

Si d'ailleurs n >4, ona évidemment

cosaa' „ cos/-a cos/v '

de sorte que la formule précédente est générale, la valeur de ses deux membres étant zéro pour n >• \.

Celte formule générale a de nombreuses applications évidentes. Signalons seulement qu'on peut faire coïncider partiellement ou totalement les deux systèmes de cercles. On peut aussi supposer que Ca, par exemple, devienne l'absolu; alors on peut prendre

cotang/-a = — y/— 1, cosCaCa' = cotang/v V7 — ' 7

Ca' peut aussi devenir l'absolu.

Si Ca est une série linéaire, cosra=o.

Si Ca est un cercle de rayon nul, on remplacera

sin /•-,

sin/-acosGaGa' par

cosaa — cos/'asin/v

Une formule tout analogue aura lieu pour les cycles équivalents aux cercles donnés.

394. Procédons comme précédemment, mais en employant des déterminants ou matrices dont les premières lignes soient respecta ement *,, a2, a3, a,, sj — !> et <J>a., <ïv2, 4>a., Dai, y/— ï>; on