CHAPITRE XV. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE GÉNÉRALE

menls (x). Ce sont celles-là seulement que nous allons envisager, et ce que nous allons dire pourra être répété en partant des cycles, et considérant les éléments (ç) au lieu des (x).

La condition qui caractérise les substitutions que nous avons en vue est évidemment qu'un réseau de cercles assujettis à contenir un élément donné (y), se transforme en un réseau de cercles assujettis de même à contenir un élément (y1). Les cercles Ca qui contiennent (y) vérifient la relation

<*i7i + a2ji -+- *s>3 + «4 \J— Fy2 = o,'

et, par suite, se transforment en cercles vérifiant une nouvelle relation linéaire

où l'on obtient y', , j^, r!,, y'4 en appliquant à y, , y2, y3 et y/— b> la substitution transposée de la substitution considérée. Il faut ici avoir

^(y'ny'z,y',)+y? = o,

et, par suite, on voit que les substitutions transposées des substitutions considérées doivent conserver la série quaternaire définie par F(yi,y2, y -s) -Jryl=z °j les (y) étant les variables auxquelles sont appliquées ces substitutions transposées.

Ceci revient à dire que les substitutions données doivent conserver la série quaternaire définie parra:=o, puisque les (y) et les (a) étant considérées comme variables de première et de seconde espèce, T^- est la forme équivalente à F(jKi, y*, y$) -\- y'\-

Les substitutions considérées sont donc celles qui, dans l'espace à trois dimensions rempli par les cercles, conservent un absolu dont l'équation serait Ta- = o; et nous voyons par suite, immédiatement, que ces substitutions changent un cercle de rayon nul en un autre cercle de rayon nul, et jouissent de la propriété fondamentale de conserver la distance de deux cercles.

Les centres de deux cercles de rayon nul correspondants sont d'ailleurs liés l'un à l'autre comme deux éléments (x) et (x') correspondants.