Prenons l'équation de l'absolu sous la forme

F = — x\ -h tix%x3— o, An. — I. 28

et définissons un élément (x) quelconque par les paramètres (),) et (u) des deux éléments de contact avec F des éléments tangenl> à F qui contiennent (#), de sorte que

!= Xjfij-t- Agi*], a:2=X, fij, J~.i = À « ;/ î .

Les paramètres (a) et (ut.) jouent dans ces formules le même rùlc; mais, si Ton oriente l'élément (.r), il n'en sera plus de même, car on a ¥x* = — (Au.)2, et donner un signe à y — Fj.*. revient à détruire la symétrie qui existe entre les (a) et les (u). Nous supposerons donc distinctes les deux séries d'éléments (X) et (u.) qui constituent l'absolu, cl nous prendrons ^ — ¥x*= (^M-)- On peut dire encore qu'en orientant les éléments (.r), on dédouble ces éléments, chaque élément (x) non orienté donnant lieu à deux éléments orientés, suivant que l'on prend une détermination ou l'autre

pour y/ — i'.r-'i suivant aussi que l'on assigne le premier rang aux paramètres i /. i ou aux paramètres (;jl) qui déterminent (.r). C'est dans ce sens que nous avons déjà considéré un cercle comme une certaine série quadratique dédoublée.

L'équation d'un cercle ( \.x peut s'écrire

«l(X] ]).i— Xj|X| )4- *,X| (A, 2 ,},,;*,-,- a,( A, fi2— "/.., ;/, ) = o;

ce cercle est de rayon nul si l'on a ici

et, dans ce cas, le premier membre de l'équation précédente se décompose en un produit de deux facteurs linéaires, l'un par rapport aux (A), l'autre par rapport aux (ul) : ces deux facteurs, égalés à zéro, représentent deux éléments tangents à L'absolu.

Les substitutions que nous éludions sont assujetties à changer un cercle de ravon nul en un cercle de rayon nul; si donc, à l'élément (x) ou (a) et (fji), elles font correspondre l'élément (x') ou (V) et (u/), elles seront telles qu'elles établissent des relations linéaires entre les (a) et les ()/) d'une part, les (ut.) et les (u/) d'autre part, ou bien entre les (À) et les (u/), les (pi) et les (a'). On les obtiendra donc en posant soit

Xi = a, X', -4- a\ X'2J fi, = tj j-i', — z\ i-û ,

X, = a.,},', -f- 7„ Xj , }Z, = T, [X\ -i- ~.\ flj .