CHAPITRE XV. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE GÉNÉRALE. 43y

En général, les séries linéaires qui se transforment en séries linéaires contiennent un élément fixe de coordonnées

facile à déterminer en remarquant que oc4 et a', sont nuls en même temps.

Etudions le cas spécial où la substitution est involutive; il faut et il suffit pour cela que les deux substitutions faites sur les (),) et les (y.) soient elles-mêmes involutives, c'est-à-dire que l'on ait

Si l'élément fixe commun à toutes les séries linéaires qui se transforment en séries linéaires n'appartient pas à l'absolu, nous pouvons le prendre pour l'élément fondamental 0(, et alors

de sorte que l'on a simplement

À, = (T1Aâ, ;xi=-,;j.2,

Les éléments tangents à l'absolu, déterminés comme éléments doubles de ces involutions, forment deux couples, et les éléments de contact des éléments de chaque couple sont conjugués harmoniques sur l'absolu par rapport à 02 et 03. En combinant les éléments de ces deux couples ensemble, on détermine deux couples d'éléments de première espèce A et B, A' et B', les éléments AB et A'B' contenant Ot. On voit aisément dans ce cas que tous les cercles doubles pour la substitution envisagée sont ceux des deu\ faisceaux déterminés par A et B, A' et B'; ces deux faisceaux sont conjugués, et les cercles de l'un sont orthogonaux aux cercles de l'autre.

Si l'élément fixe commun à toutes les séries linéaires qui se transforment en séries linéaires appartient à l'absolu, on peut le prendre pour 03, et alors n\ = ~\ = o. On se trouve dans un cas limite du précédent.

Dans tous les cas, en composant une substitution conforme quelconque avec un mouvement convenablement choisi, on verra

sans peine qu'on peut la l'amener à une substitution conforme involutive.

403. Supposons maintenant que l'on considère une substitution du second type; les séries linéaires qui se transforment en séries linéaires contiennent encore un élément fixe déterminé comme précédemment. Si cet élément n'appartient pas à L'absolu, prenons-le pour 0(, de sorte que

S'il y a involution, on aa,'| = T/1 = o"2=~2==Oj ' l de plus 7, 7, = tr' t.,. de sorte que, avec celte condition, on a simplement

Celte substitution spéciale, que nous appellerons inversion générale, jouit de propriétés importantes. D'abord deux éléments correspondants sont alignés avec O, : de plus, pour deux tels éléments (a:) et (a?'), en déterminant (), par ^1 = I, X2= o, pi, = 0,

<j..>= 1 , on a

005—^—=^^-^ — tt^-t» cos— 7— = — - > ; r — • , ' 21/11 A , [i, — A«(i| >'/// ^2!Ai — Ai,-'.'

et, par suite,