CHAPITRE XV. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE GÉNÉRALE
soit
X , = d, JJ.', -f- <j\ \J.', , j.1, — Tj X', -H x', X'j ,
X2 = a2 f*', -f- cr2 [jl'2 , [Aï = t2 X', + x'2 Xj .
Les substitutions du premier type, que nous appellerons substitutions conformes, forment dans leur ensemble un groupe; deux substitutions successives du second type équivalent, au contraire, à une substitution du premier type- Une substitution du premier type, par exemple, transforme le cercle Ca dans le cercle Ca', et l'on a
a'i = — (a1-t'2+ ct\ t2H- ot2t;, -t-ff2Ti)-f- — Oit', + cr', t,)
-H — (d2"2 "+~ a2Xi) + — (al'2 "+" ai X2~ a2^l ^ixl),
Oh
a2 = a1(o'l i-i -+- <x2 Ti)-t- a2aj -u, -H x3a2 t2 -h at(<jj t2 — a2 ^1), a'3 = at (cr', x2 + u'2 x^ ) -h a2 <t', x'j -f- a3 cr'2 -u2 4- oc4 ( a', t2 — j2 x\ ) ,
a'4 = — (îit'2 — a'j t2-H a2Ti — u2 Tt) -+- -- (aix, — a'j t,)
-i (>2T2 Gi^ï) H (!TIT2 ai ^2— ^2^1 + ^2'Cl);
le déterminant de celte substitution estcjJTjj, si o,0 = (o,(j/), t0 = (tt'). Quant aux (.r), on a
-' rr' -T''
-+- ^ ffix'tC^ + Z— F^)+ ^1^1(^1 — /— F*")'
2" 3 = a2 "^2 x\ ~+" Oj t2 X '3
-H - ff2xs (a?', -h y/— F*-»)-*- - a'2x2(^'1 — /— F*..),
- (a?i+ y/— Fa:>)= ffitja/j-H (JiTja^
+ £ »iti(^i + /— *>) + £ ^'i^(^'i — s/— F*-.),
- (a?i— /— F*3)— ffSTia?',-t- cr'jj t'a ip'3
-f- - <j2x\(x\ ■+- /— F*'»)-*" - n'jT^', — /— Fx<.).
On a des formules analogues pour les substitutions du second type.
Nous remarquerons qu'un mouvement peut être considéré comme une substitution soit du premier type, soit du second, dans
laquelle les coefficients t,, <t',, <72, v'2 sont respectivement égaux aux coefficients 7,, t', , T2, t'2. Si la substitution est du premier
type, on a y — Fa; = 7o \ — F*'*; si elle est du second type, on a,
au contraire, y/ — Fxj= — ,70\ — I"
Ainsi, en particulier, on peut passer des substitutions de l'un des types à celles de l'autre, en les composant avec la substitution
simple
~> i = f*'i> :xi ~" ' i-
qui n'a d'autre effet que de changer l'orientation des éléments.
Les substitutions conforme-, déterminenl un groupe à sept paramètres seulement, qui comprend en particulier le groupe des mouvements. V ces substitutions correspondent des invariants conformes, absolus ou ordinaires, en nombre 1» — - ou P <> en général, pour un système dépendant de I' éléments. Il est clair que Ton formera simplement ces invariants comme invariants multiples par rapport aux ().) et aux | ;/ . quand on aura substitué ces coordonnées aux x i. I . est ainsi que la forme
l(XiH,-t-Xifi|j - 7,/ .,;*]--- y;/ ..;.•■ -a4(Xifl,— \t\li)
admet l'invariant multiple connu x2a3 — oc^-f-a*, égal à , \'y . Quand on considère les | x l, une substitution conforme esl une
substitution linéaire sur xl, #2, •'' ; rl \ — F*»; il en est de même pour une substitution du second type.
402. Dans une substitution conforme, les quatre éléments tangents à l'absolu qui correspondent aux éléments doubles d< •> deux substitutions faites sur les Çk) et les (a) se correspondent évidemment à eux-mêmes et sont les seuls dans ce cas, tant que l'une de ces substitutions n'a pas une infinité d'éléments doubles. Par suite, dans le cas général, la substitution conforme détermine quatre cercles doubles, de rayon nul, composés des éléments tangents à l'absolu que nous venons de déterminer, pris deux à deux : les centres de ces cercles sont quatre éléments (x) se correspondant à eux-mêmes. Nous n'insisterons pas sur les cas particuliers, dont l'interprétation deviendra immédiate après l'étude de la Géométrie quaternaire.
