CHAPITRE XV. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE GÉNÉRALE
forme f devienne
et que la forme ¥ai-\- a\ devienne
Ces formes sont déterminées, au signe près, par la résolution d'une équation du quatrième degré, obtenue en égalant à zéro le discriminant de la forme quaternaire
/(«t, a2, a3, a4)-4- X[Fai+aJ];
les détails de cette détermination seront indiqués dans l'étude de la Géométrie quaternaire.
L'équation
Xj Aj -+- X2A2-v- X3 A3-f- X4 A4 = 0
représente un cercle (),), et il est clair que deux cercles (),) et (u.) seront orthogonaux si l'on a
X, fxj -+- X2 \u -+- À 3 ;j.3 -+- X4 \j.i = o,
en vertu de l'invariance des formes polaires.
En particulier, les quatre cercles d'équations A/= o sont orthogonaux deux à deux : nous les appellerons les cercles prin cipaux de la série y.
Un cercle Çk) de rayon nul vérifie la relation
X?+X»+À»-t-Xî = o.
Une première propriété est la suivante. Il existe sept substitutions linéaires et sept seulement qui conservent la série f et la forme G. Quatre de ces substitutions sont du type
Xi = — Xj , X2 = a 2 , a3 — X'3 , X4 = A4 ; les trois autres sont du type
Les quatre premières sont des inversions générales dont chacune conserve un cercle principal, et les cercles qui lui sont orthogonaux. Les trois autres sont des substitutions conformes proprement dites, involutives, conservant les cercles des deux faisceaux déterminés par les cercles principaux pris par groupes de deux :
il en résulte une définition simple de la transformation correspondante pour les éléments (#).
il3. Dans le cas particulier où ./est une série quadratique ordinaire, la transformation précédente est encore applicable; on a n,(— o, si l'on veut, et A,, A2, A3 sont des fonctions linéaires de «(, a2j ">, seulement, hindi- que AJl = at. On a donc aussi
Fa.= AÎ-+-A! + Ai,
et la transformation n'esl autre que celle qui consiste à rapporter les séries /"et F à leur suite triple conjuguée commune.
Les cercles principaux se réduisent aux éléments de seconde espèce de celte suite triple et à l'absolu. Des quatre inversions qui conservent la série/", trois se réduisent à des mouvements involutifs, à l'orientation près des éléments; la quatrième u'a d'autre effel que de changer l'orientation des éléments (#). Quant aux trois substitutions conformes «pu conservent y, ce sont des mouvements involutifs faciles à définir.
On calculerait sans peine, an moyen de formules déjà données, dans un cas plus général, les distances des éléments (x) qui ont même polaire par rapporl à f el à l'absolu, aux éléments communs à f el aux cercles principaux; et de même on interpréter.iil métriquement les invariants communs à/el F.
Les cas particuliers où/serait tangente ou osculatriceà L'absolu ne permettent pas la réduction générale précédemment employée, mais ces eus particuliers peuvenl être envisagés comme cas limites du cas général,
Si/* était bitangente ou osculatrice à l'absolu, on sérail ramené à l'élude des cercles, el les généralités qui précèdent trouveraient encore leur application évidente.
i I \. Revenons au cas général el cberchons à déterminer les cercles bi tangents à la série f.
On trouve aisément quatre séries de tels cercles, dont l'une, par exemple, est définie par les relations
Pi— Pi Pi— Pi P'+ — [>\
La première relation indique que les cercles de cette série sont
