CHAPITRE XV. — LA GÉOMÉTRIE JIKTRIQUE TERNAIRE GÉNÉRALE

orthogonaux au cercle principal A, = o, ce qui nous prouve immédiatement que ces cercles se conservent dans l'inversion qui correspond à ce cercle, les deux éléments de contact de l'un de ces cercles avec/s'échangeant mutuellement.

Pour donner un sens plus précis à la seconde relation, cherchons d'abord à déterminer les coordonnées du centre d'un cercle Çk). Si (L) désignent ces coordonnées de même espèce que les (A), tout cercle (p.) contenant (L) et orthogonal à l'absolu, c'està-dire encore réduit à une série linéaire, sera orthogonal à (),). Si donc la transformation faite sur les («) donne

ak = 91 A, -+- cp, A2h- ÏI3A3+ fi A.

les relations

entraînent

d'ailleurs

par suite, on a avec

[j-\ Li-t- |x2]J2-i- H3L3 +

fA4L4 = 0,

[Jt- 1 O 1 — t— ^2^2-+- f*3<?3 ■+-

fA4CD4 = O

<;.! ). ! -+- [JU X2 -+- [J-3^3 -+-' lJ-'. ^4 = ° :

Lï + L»-+-L3 + L* = o;

Lt= À/-f- A-cp,-,

De plus, comme

Fa. = A? 4- AI -)- A* h- Af - (<p, A, + . . .)2,

il faut que le discriminant de la forme quadratique qui est au second membre soit nul, ce qui donne Sa>?= i , et par suite l'équation en k est

On trouve naturellement deux centres, qui sont un même élément orienté de deux façons différentes. Quand le cercle est de rayon nul, le centre proprement dit correspond à A = o, car il appartient au cercle lui-même.

Le lieu géométrique des centres de la série considérée plus haut de cercles bitangents à /est donc défini par la relation

(Liy3— L,?!)» (Liy,— L,çt)' + (Li?t— U?i1s Q P-i—P\ Pi— Pi P'* — Pi

An. — I. 29

{5o LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

C'esl l'équation d'une série orientée du second degré, ou plutôt d'une série quadratique ordinaire, puisque l'orientation de ses éléments est indifférente, d'après ce qui précède. Au surplus, il n'est pas difficile de voir que

et que, outre la relation Eo? i , on a

Es -i; 0, SWjOîj o, 2<p,,«p3i,= o.

415. Parmi les cercles (A) bitangents kf du système considéré, il v en a quatre qui sont de rayon nul, cl déterminés par les relations

Px-Px Pi— Pi /'*-/'i

ce sont des foyers de la série/, de sorte que celte série a seize foyers.

On retrouve ce> seize foyers de la façon suivante : la série ternaire quartiquc définie par/el l'absolu ont huit éléments tangents communs, qui peuvenl être répartis en dvux groupes distincts de quatre éléments, d'après l'équation de f, exprimée comme au n° -i()t) à l'aide des variables (a) et (p-); les éléments de ces deux groupes, combinés ensemble, fournissenl seize éléments qui sont les foyers de f, el d'après les propriétés de la forme doublement quadratique, les i\vi\\ groupes de (|uatrc éléments tangents considérés ayant même rapport anharmonique, les seize foyers appartiennent quatre par quatre à quatre séries quadratiques bitangenles à l'absolu, les quatre cercles principaux.

Si l'on considère les séries f pour lesquelles les quatre foyers d'un syslème sont déterminés, par exemple ceux qui résultenl des équations précédentes, il est aisé de voir que leur équation générale est de la même forme que celle de/, soit p\ A* +. . , = o,

et que l'on doit avoir p]= — —i — ; X étant un paramètre arbitraire. 1 ' ' i — kpi '

Tous les foyers sont alors communs, et ces séries sont homofo-

cales.

Deux de ces séries contiennent un élément A donné, et il est

aisé de vérifier qu'elles y sont orthogonales, c'est-à-dire que leurs

éléments tangents y sont perpendiculaires.