CHAPITRE XV. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE GÉNÉRALE

conduit aux équations

7i-i-p 9-1-+- ? Çs

</i-+-p g«-i-p g'sH-p

rtXi /-oXo /-3X3

g^-f-p ?2+p qz^-?

p étant une inconnue auxiliaire.

La première équation détermine quatre valeurs pour p; à chacune de ces valeurs correspond un système de cercles bitangents à f; le lieu des centres des cercles de l'un de ces systèmes est déterminé par la seconde équation : c'est donc une série quadratique, homofocale à la série quadratique polaire réciproque de f\ par rapport à l'absolu; de sorte que les quatre séries (D,), (D2), (D3), (D,) ainsi obtenues sont homofocales entre elles. Leurs foyers sont faciles à définir en partant de y* elle-même, puisque la série y^ contient les éléments de contact de/' avec l'absolu. Enfin, Ja dernière équation exprime que les cercles de l'un des systèmes sont orthogonaux au cercle fixe

^Al+— ^-A2+— ^A3-A4 = o.

Les propriétés précédemment indiquées se retrouvent sans peine. On peut aussi déterminer facilement les séries linéaires doublement tangentes à /"; il suffit de supposer )v4 = o, et l'on trouve quatre groupes de deux, comme cela devait être.

Cherchons encore les cercles bitangents à f et à éléments de contact confondus ; d'après la propriété déjà indiquée des éléments de contact avec /"d'un cercle qui lui est bitangent, les cercles que nous considérons ici correspondront aux éléments de contact des séries (D) avec les éléments tangents communs à ces séries et aux séries quadratiques ordinaires déterminées par les cercles principaux correspondants. Si (£) est un tel élément tangent à (D,) et touchant le cercle principal correspondant, de centre Gj , en ( x), la série f sera évidemment tangente à (C, x) en (x); si (ç') est un second élémeDt de même nature touchant le cercle principal en (x!), la série/* sera de même tangente à (d x') en (x'). Si donc on considère le cercle de centre (££') contenant (x) et (x'), il est

évidemment bitangent à/, et par suile (;;') appartient à l'une des séries D2, D3, D,, l'élément de contact étant d'ailleurs déterminé par C, et (£?')• Les six éléments tels que (;;') appartiennent ainsi deux par deux à ces séries, qui, étant déjà homofocales à D,, sont complètement déterminées par la connaissance de D| et du cercle principal correspondant.

En outre, de ce fait résulte un théorème facile à démontrer sur les propriétés de deux séries homofocales cl d'un cercle.

Il est aisé maintenant d'étudier les cas particuliers qui se présentent, 'lu moins quand on suppose la réduction précédemment employée possible.

Tout d'abord, non-, supposons que L'équation en p n'admette comme racine aucune des quant ités — q{ . — gra, — q3.

Si L'équation en p a alors une racine double, on voil sans peine que le cercle principal correspondant devient de rayon nul; m C(

est le centre de ce cercle, <'., esl élément double pour/"; les

séries (D8) et (D4) | ■ h, i étanl confondue avec (Da)] contiennent <"., et \ touchent les cercles principaux correspondants.

Si l'équation en p a une racine triple, la série | I > , i du ras précédent vient se confondre avec! I », : C( appartient ai I >, ) et esi un élément cuspidal pour/"; la série (D4) contient <",, et j esl osculatrice au cercle principal correspondant.

Si l'équation en p a deux racines doubles, la série quartique déterminée par /se décompose en une série cubique et une série linéaire tangente à l'absolu. ( les deux séries étant orientées d'après I équation/=o, ont en commun l<^ deux centres C| et C3 des deux cercles principaux, chacun de rayon nul ; la série (L\) contient C3, et la série (D:)) contient G,.

Si I équation en p a une racine quadruple, on est dans le cas précédent, en supposant de plus que C3 coïncide avec C«, et la série (D, ) contient C,.

Examinons maintenant le cas où L'équation en p admettrait la racine — y,, ce qui exige ou bien que la série quadratique/, soit bitangente à l'absolu, ou bien que /•-, = o : ('cartons d'abord le premier cas.

Les cercles bitangenls à /qui correspondent à la racine — q{ ont leurs centres sur L'élément ~kt = o, de sorte qu'ils sont orthogonaux à cet élément, qui joue le rôle de cercle principal; mais,