CHAPITRE XV. — LV GEOMETRIE METRIQUE TERN4IRE GÉNÉRALE

pour déterminer ces cercles, il faut une nouvelle relation que l'on trouve facilement être

9i — 2* iJi — ?»/ \>j\ — q% qi — qs /

qi — '/i qi — qi

lu

L'inversion conservant J qui correspond aux cercles de ce système devient une homologie involutive; ce système de cercles fournit toujours quatre foyers. Quand trois des racines de l'équation en A sont égales ainsi à — qK, — q2, — q.i: la série y est une série quadratique ordinaire. Si la racine — qt est double, la relation précédente se réduit à

7*«» Ao /'-ï )\<\ ^

les cercles correspondants forment un faisceau; les éléments B, et B2 communs à tous ces cercles sont doubles pour f qui se décompose en deux cercles; les séries (D3) et (D4) qui correspondent aux autres racines de l'équation en p contiennent B( et B2 ; quand ces deux autres racines sont confondues, l'un des deux cercles dont se compose y est de rayon nul.

Si l'équation en p a deux racines doubles telles que — qx et — q-2, les deux cercles dont se compose y sont de rayon nul.

Si la racine — qK est triple, on est dans le même cas que précédemment; mais les deux cercles dont se compose y sont tangents entre eux.

Si la racine — q( est quadruple, l'un des deux cercles dont se compose y est de rayon nul, et son centre appartient à l'autre.

Supposons enfin que la série y, soit bitangente à l'absolu, de sorte que qt = q2 par exemple ; la série quartique déterminée par y a, dans ce cas, ses éléments communs avec F confondus quatre par quatre. Pour les racines de l'équation en p,, autres que — qf, tout ce qui a été dit précédemment subsiste, on remarquera seulement que les séries (D/) correspondantes sont elles-mêmes bitangentes à l'absolu suivant le même élément 03 que y.

Si la racine — qt est simple, on peut supposer, sans diminuer la généralité, que /•, est nul; les cercles correspondant à cette

racine sont alors tels que l'on ait X, = o et

qx kl -+■ '1 /-W...A; = o;

l'un des foyers correspondants esl l'absolu.

On a les mêmes propriétés générales que précédemment.

Si la racine — <y, est double, on a /; -r r2, = o; si /-, et r2 ne sont pas tous deux. nuls, on a r<X2 — /-.,a, = o, avec la dernière des relations précédentes; la m rie fa un élément double M appartenant à L'absolu et à ii:!. el le lieu des centres des cercle-; qui correspondent à la racine — >/, est 03M.

Si l'on a à la fois rt = r. = o, la série / se décompose en deux cercles concentriques.

Dan> ces deux <;i>. il \ a nouvelle décomposition de /', quand les deux nuire- racines de l'équation en p sont égales.

Si la racine — qt est triple, on ;i

r\ -+■ ri = o el </,< y, — gs) - o;

-i /-, et r2 ne sont pas nuls, tout se passe comme dans le cas précédent, >;oif que M est cuspidal pour la série / ; si /•, = r.2= o, la sérieuse compose de deux cercles coïncidents.

Si la racine — q\ esl quadruple, sans que rt el /■ soient nuls, la série/" se décompose en une série cubique contenant M cl l'élément tangent à l'absolu en M: -i / , et ra sont nuls, la série f se compose de deux (en !(•-< coïncidents de rayon nul.

Tout ce que nous venons de dire est facile à vérifier directement et devient intuitif comme application des théories de la Géométrie quaternaire. On remarquera que, lorsque la série orientée /"a un élément double ou cuspidal n'appartenant pas à L'absolu, notion que rendra claire l'étude de la (.iéométrie quaternaire, la série quartique ordinaire, déterminée par /, a de même un élément double ou cuspidal; si la série/ a un élément double ou cuspidal appartenant à l'absolu, la série quartique déterminée par/* est des espèces (B') ou (E') du n" 359, l'élément double spécial coïncidant avec celui de/. D'ailleurs, dans le cas où la série/( est bilangenle à l'absolu, la série/ est elle-même bitangente à l'absolu, et seulement dans ce cas.

419. Si, d'une façon générale, A',, A!,, A',, A', sont des fonctions