CHAPITRE XVI. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE SPÉCIALE

et (£') sont correspondants, (çç') contient l'élément défini par io\ x2 -+- d)J #;î = o appartenant à g, et l'on a

$■' = X 1 ! — i = const.

On dit qu'il y a translation ; une translation est aussi un mouvement.

Les mouvements sont caractérisés par la relation

Une translation peut aussi être considérée comme une homothétie spéciale.

428. Pour étudier les similitudes symétriques, remarquons qu'une telle substitution <r" se ramène à une similitude proprement dite quand on la compose avec une substitution particulière, dite symétrie, et de la forme

C'est une homologie involutive dont les éléments doubles sont d'abord celui de coordonnées ^r, = o, x2+ #3 = o, puis tous ceux de l'élément ^r2 — ;r3 = o.

Si (£) et (ç') sont correspondants, (££') est perpendiculaire au premier élément double, et le milieu de (£;') appartient à ce même élément double.

En général, une substitution g-" sera une symétrie dès qu'elle se ramènera à une homologie involutive, et, par suite, qu'on aura

i»\ — co'2 u/3 =0 et i'}\ w',' -4- io'2 o/, = o.

Nous n'insisterons pas davantage sur les propriétés des différentes substitutions que nous venons de reconnaître-, la Géométrie ordinaire les met suffisamment en évidence, et leur vérification directe n'offre aucune difficulté.

Remarquons encore que l'on pourrait définir d'autres substitutions intéressantes, par exemple celles qui conservent l'un des éléments de l'absolu; ou qui changent l'un de ces éléments dans l'autre; ou encore qui conservent l'élément double (g) de l'absolu : ces dernières sont les affinités, et leur forme générale est immédiate; leurs propriétés sont connues.

4jO LIVRE II. — LA GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

429. Les similitudes forment évidemment un groupe à cinq paramètres. La loi de composition de deux similitudes se trouve sans peine, et Ton en déduit en particulier que le rapport de similitude résultant est égal au produit des rapports de similitude composants, au signe près.

Deux similitudes symétriques consécutives équivalent à une similitude proprement dite.

Les homolhéties forment un groupe à quatre paramètres; il en est de même des mouvements; enfin, les translations forment un groupe à trois paramètres, contenu dans celui des homothéties et dans celui des mouvements, ceux-ci étant eux-mêmes contenus dans celui des similitudes.

On peut, pour les différents groupes que non-; \ enons d'énumérer, construire des invariants absolus d'un système ternaire S quelconque.

Les équations aux dérivées partielles formant un système complet, qui caractérisent co invariants, seront toujours faciles à former en se servant des substitutions infinitésimales des différents groupes considérés.

faisant F = >./■, a?2, comme pin-- h a h i. .1 gardant les notations «lu Chapitre I. ces équations seront :

Pour les simili Inde- An F =o, A,,F = o, A,F = o, A,,F = o, Ai3F = o;

Pour les homothéties

AnF = o, A„F -f-A88F = o, A,,F = o, A,3F = o;

Pour les mouvements A,,F-i-2A22F =o, AuF-H2ÀMF = o, A12F = o, A13F = o;

Pour les translations

On pourra aussi, quand il s'agit des similitudes, procéder d'une façon plus générale, identique à celle qui a été indiquée au n° 381 . Mais, dans ce cas, on trouve cinq équations et non plus quatre seulement, en vertu de la décomposition de l'absolu.

Dans le cas des homothéties, on pourra de même former un