CHAPITRE XVI. — LA GÉOMÉTRIE MÉTRIQUE TERNAIRE SPÉCIALE. 4j

Les séries linéaires sont des cercles particuliers pour lesquels a4 — o ; l'absolu est aussi un cercle particulier.

Le discriminant du cercle Ca est celui de la forme quadratique (a|;r)2+ a^F^s, soit rj.\ (g |a)2. Si (g\y.)= o, le cercle se compose de deux éléments contenant (g), à éléments orientés; si en outre a-, = o, ces deux éléments sont confondus.

La série tangentielle de (a|a.')2+ a^Fa-s^ o est ici, au facteur a2 près,

c'est une série de seconde espèce dont deux éléments sont ceux de l'absolu, et que nous appellerons un cycle.

Les cycles ne sont pas susceptibles d'orientation : le même cycle équivaut à deux cercles.

Quand aj = o, le cycle se réduit aux deux éléments communs à Ca et à l'absolu ; si (g\y-) = o, le cycle représente (g) deux fois.

432. On peut considérer directement un cycle sous la forme suivante, où l'on suppose F = 2 (cp[.r)(<p'|.r) et où (X) désigne un élément arbitraire

2«1(?Xï)(?'^ç)+^«2('fÀ;)(??'si) + '-'-«3(?'ÀO('f?'s5)+«4('f?'ç)2 = o;

les (a) sont alors les coordonnées du cycle, désigné par Tn.

L'équation du cycle Ta équivalent au cercle Ca peut s'écrire

a(w'a)(çXÊ)(Q'XÊ) + a(?'«XX?ÀÊ)(<p<p'Ê)

, iw ,m-w ,» 2(cpaX)(ç'aX) — a?(œcu'X)2 . iy ,

-{-2(?aX)(?'A$)(??'g)+ V' AY(J>a) * " M??^a = °>

et, par suite, la correspondance entre les coordonnées (a) et (a) peut être établie par les formules

at = p(<pcp'a), a2 = p(<p'aX), a3=p(<paX),

2(cpaX)(cp'aX)— ^(cpcp'X)*

(cpcp a)

p étant un paramètre arbitraire; de sorte que a,, a2, a3 sont des fonctions linéaires de a,, a2, a3 ; et réciproquement.

Les cycles pour lesquels r/, = o se décomposent en deux séries linéaires, dont l'une est (g) et l'autre quelconque; le cercle correspondant est un élément double contenant (g), et ne détermine pas le cycle Ya.

/j-j LIVRE II. — LV GÉOMÉTRIE TERNAIRE.

Si l'on fait F = — 2X,x3l et si Ton prend").,= i, l2 = o. Xa on a simplement

2a.>a3— aj

en prenant et, par suite

(o\x) = —xi, ■->) = . r:l.